三角比の相互関係の公式（鈍角）

三角比の相互関係の公式（鈍角）
問題解説：三角比の相互関係の公式（鈍角）
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

三角比の相互関係の公式（鈍角）

Point：三角比の相互関係の公式（鈍角）$0^\circ < \theta <180^\circ$ のとき、次の公式が成り立ちます。

$$~{\small (1)}~\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1~$$$$~{\small (2)}~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}~$$$$~{\small (3)}~1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}~$$

・相互関係の公式の使い方
( ⅰ ) $\sin{\theta}$ (または $\cos{\theta}$ ) が与えられたとき
① (1)の公式より、$\cos{\theta}$ (または $\sin{\theta}$ ) の値を求めます。
② (2)の公式より、$\tan{\theta}$ の値を求めます。

( ⅱ ) $\tan{\theta}$ が与えられたとき
① (3)の公式より、$\cos{\theta}$ の値を求めます。
② (2)の公式より、$\sin{\theta}$ の値を求めます。

・三角比の符号

( ⅰ ) $\theta$ が鋭角のとき、($0^\circ<\theta<90^\circ$)

$$\sin{\theta}>0~,~\cos{\theta}>0~,~\tan{\theta}>0$$

( ⅱ ) $\theta$ が鈍角のとき、($90^\circ<\theta<180^\circ$)

$$\sin{\theta}>0~,~\cos{\theta}<0~,~\tan{\theta}<0$$

問題解説：三角比の相互関係の公式（鈍角）

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 次の条件のとき、$\cos{\theta}$ $~,~$ $\tan{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$\theta$ を鈍角とする。$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$

相互関係の公式(1)より、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$$$\sin{\theta}$ の値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\theta}=1-\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\frac{2}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{9-2}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{7}{9}$$ここで、$\theta$ が鈍角であることより、$\cos{\theta}<0$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=-\sqrt{\frac{7}{9}}$$$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$
また、相互関係の公式(2)より、$$~~~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$$\sin{\theta}~,~\cos{\theta}$ の値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\theta}=\frac{{\large \frac{\sqrt{2}}{3}}}{-{\large \frac{\sqrt{7}}{3}}}$$分母分子に $3$ をかけると、$$\hspace{ 33 pt}=\frac{{\large \frac{\sqrt{2}}{3}}\times 3}{-{\large \frac{\sqrt{7}}{3}}\times 3}$$$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$$分母分子に $\sqrt{7}$ をかけると、$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{7}}{\sqrt{7}\times\sqrt{7}}$$$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{\sqrt{14}}{7}$$
よって、答えは、$$~~~\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{7}}{3}~,~\tan{\theta}=-\frac{\sqrt{14}}{7}$$となります。

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
${\small (2)}$ 次の条件のとき、$\sin{\theta}$ $~,~$ $\cos{\theta}$ の値を求めよ。ただし、$0^\circ<\theta<180^\circ$ とする。$$~~~\tan{\theta}=-\frac{3}{4}$$

相互関係の公式(3)より、$$~~~1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{\cos^2{\theta}}=1+\tan^2{\theta}$$両辺の逆数とると、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\theta}=\frac{1}{1+\tan^2{\theta}}$$ここで、$\tan{\theta}$ の値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\theta}=\frac{1}{1+\left(-{\large \frac{3}{4}}\right)^2}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{1}{1+{\large \frac{9}{16}}}$$分母分子に $16$ をかけると、$$\hspace{ 37 pt}=\frac{1\times 16}{\left(1+{\large \frac{9}{16}}\right)\times16}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{16}{16+9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、$0^\circ<\theta<180^\circ$ で $\tan{\theta}<0$ であるので、$\theta$ は第２象限の角となります。
よって、$\cos{\theta}<0$ となるので、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}$$$$\hspace{ 33 pt}=-\frac{4}{5}$$
また、相互関係の公式(2)より、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}$$両辺に $\cos{\theta}$ をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\theta}=\tan{\theta}\cdot\cos{\theta}$$ここで、$\tan{\theta}~,~\cos{\theta}$ の値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\theta}=\left(-\frac{3}{4}\right)\times\left(-\frac{4}{5}\right)$$$$\hspace{ 31 pt}=\frac{3}{5}$$
よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{3}{5}~,~\cos{\theta}=-\frac{4}{5}$$となります。