三角形の辺と角の条件

2018.08.242020.06.09

三角形の辺と角の条件
問題解説：三角形の辺と角の条件
今回のまとめ

三角形の辺と角の条件

Point：三角形の辺と角の条件$\triangle {\rm ABC}$ の３つの辺 $a~,~b~,~c$ について、$a$ が最大の辺であるとき、
( ⅰ ) $a^2<b^2+c^2$ のとき
　$\angle {\rm A}$ が鋭角となるので、
　$\triangle {\rm ABC}$ は鋭角三角形となります。

( ⅱ ) $a^2=b^2+c^2$ のとき
　$\angle {\rm A}$ が直角となるので、
　$\triangle {\rm ABC}$ は直角三角形となります。

( ⅲ ) $a^2>b^2+c^2$ のとき
　$\angle {\rm A}$ が鈍角となるので、
　$\triangle {\rm ABC}$ は鈍角三角形となります。

この条件を使う前に $a~,~b~,~c$ のどの辺が最大の辺となるかを調べておきましょう。

問題解説：三角形の辺と角の条件

問題解説(1)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (1)}~a=7~,~b=4~,~c=6$$

$a$ が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}a^2=7^2=49$$また、他の２辺について、$$\hspace{ 10 pt}b^2+c^2=4^2+6^2$$$$\hspace{ 43 pt}=16+36$$$$\hspace{ 43 pt}=52$$したがって、$$~~~a^2<b^2+c^2$$となることより、この三角形は鋭角三角形となります。

問題解説(2)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。$${\small (2)}~a=\sqrt{7}~,~b=6~,~c=4$$

$b$ が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}b^2=6^2=36$$また、他の２辺について、$$\hspace{ 10 pt}a^2+c^2=(\sqrt{7})^2+4^2$$$$\hspace{ 43 pt}=7+16$$$$\hspace{ 43 pt}=23$$したがって、$$~~~b^2>a^2+c^2$$となることより、この三角形は $\angle{\rm B}$ が鈍角の鈍角三角形となります。

問題解説(3)

問題次の $\triangle {\rm ABC}$ は、鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のいずれか答えよ。 $${\small (3)}~a=13~,~b=5~,~c=12$$

$a$ が最大の辺であることより、$$\hspace{ 10 pt}a^2=13^2=169$$また、他の２辺について、$$\hspace{ 10 pt}b^2+c^2=5^2+12^2$$$$\hspace{ 43 pt}=25+144$$$$\hspace{ 43 pt}=169$$したがって、$$~~~a^2=b^2+c^2$$となることより、この三角形は $\angle{\rm A}$ が直角の直角三角形となります。