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分散と標準偏差

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今回の問題は「分散と標準偏差」です。

問題次のデータにおける分散と標準偏差を求めよ。$$~~~2\hspace{ 10 pt}3\hspace{ 10 pt}6\hspace{ 10 pt}1\hspace{ 10 pt}6\hspace{ 10 pt}2\hspace{ 10 pt}1$$

 

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分散と標準偏差の求め方

Point:タイトル\(n\) 個のデータ$$~~~x_1~,~x_2~,~x_3~,~\cdots~,~x_n$$について、このデータの平均値を \(m\) とすると、データとの差$$~~~x_1-m~,~x_2-m~,~x_3-m~,~\cdots~,~x_n-m$$これらを偏差といいます。
 
・分散の求め方

データ 偏差 偏差の2乗
\(x_1\) \(x_1-m\) \((x_1-m)^2\)
\(x_2\) \(x_2-m\) \((x_2-m)^2\)
\(x_3\) \(x_3-m\) \((x_3-m)^2\)
\(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\)
\(x_n\) \(x_n-m\) \((x_n-m)^2\)

この表より、分散は
(分散)=(偏差の2乗の和)÷(データの合計個数)
これより、求めることができます。
 
・標準偏差の求め方
標準偏差は分散に平方根を付けたものとなります。
 
・分散と標準偏差の別解
データの平均値とデータの2乗の値の平均値を用いて分散を求めることができます。

データ データの2乗
\(x_1\) \({x_1}^2\)
\(x_2\) \({x_2}^2\)
\(x_3\) \({x_3}^2\)
\(\vdots\) \(\vdots\)
\(x_n\) \({x_n}^2\)

表より、平均値は$$~~~m=\frac{1}{n}(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)$$
また、データの2乗の平均値は$$~~~m’=\frac{1}{n}({x_1}^2+{x_2}^2+{x_3}^2+\cdots+{x_n}^2)$$
これより、分散 \(s\)

$$s=m’-m^2$$

となります。
また、標準偏差は \(\sqrt{s}\) となります。

 

問題解説:分散と標準偏差

問題次のデータにおける分散と標準偏差を求めよ。$$~~~2\hspace{ 10 pt}3\hspace{ 10 pt}6\hspace{ 10 pt}1\hspace{ 10 pt}6\hspace{ 10 pt}2\hspace{ 10 pt}1$$

データの合計は、$$~~~2+3+6+1+6+2+1=21$$また、データの個数が \(7\) 個より、平均値は$$~~~21\div7=3$$となります。
 
ここで、データの値平均値との差偏差とその偏差の2乗を表にまとめると次のようになります。

データ 偏差 偏差の2乗
\(2\) \(2-3=-1\) \((-1)^2=1\)
\(3\) \(3-3=0\) \(0^2=0\)
\(6\) \(6-3=3\) \(3^2=9\)
\(1\) \(1-3=-2\) \((-2)^2=4\)
\(6\) \(6-3=3\) \(3^2=9\)
\(2\) \(2-3=-1\) \((-1)^2=1\)
\(1\) \(1-3=-2\) \((-2)^2=4\)

この表より、偏差の2乗の値の合計は$$~~~1+0+9+4+9+1+4=28$$よって、データの個数の \(7\) で割ると、分散が求まるので$$~~~28\div7=4$$
また、標準偏差はこれに平方根を付けるので、$$~~~\sqrt{4}=2$$

よって、答えは
分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\)
となります。

 

【別解】
データその2乗の値を表にまとめると、

データ データの2乗
\(2\) \(2^2=4\)
\(3\) \(3^2=9\)
\(6\) \(6^2=36\)
\(1\) \(1^2=1\)
\(6\) \(6^2=36\)
\(2\) \(2^2=4\)
\(1\) \(1^2=1\)

表より、データの合計は、$$~~~2+3+6+1+6+2+1=21$$また、データの個数が \(7\) 個より、平均値は$$~~~21\div7=3$$となります。
 
また、データの2乗の値の合計は、$$~~~4+9+36+1+36+4+1=91$$また、データの個数が \(7\) 個より、データの2乗の値の平均値は$$~~~91\div7=13$$となります。
 
これらより、分散は$$~~~~~~13-3^2$$$$~=13-9$$$$~=4$$また、標準偏差は分散に平方根を付けたものとなるので、$$~~~\sqrt{4}=2$$
よって、答えは
分散 \(4\) 、標準偏差 \(2\)
となります。

 

今回のまとめ

分散や標準偏差についての問題は、2つの解法をそれぞれ覚えておきましょう。また、表書いて考えるようにしましょう。

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