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度数分布表と分散

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今回の問題は「度数分布表と分散」です。

問題次の度数分布表について、以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 平均値を求めよ。
\({\small (2)}\) 分散を求めよ。

以上〜未満 度数
\(0\) 〜 \(10\) \(2\)
\(10\) 〜 \(20\) \(7\)
\(20\) 〜 \(30\) \(12\)
\(30\) 〜 \(40\) \(15\)
\(40\) 〜 \(50\) \(4\)

 

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度数分布表と分散の求め方

Point:度数分布表と分散解法の手順は、
平均値を求めます。
② 平均値より各データの偏差偏差の2乗度数×偏差の2乗をそれぞれ求めます。

階級値 度数 偏差 偏差の2乗 度数×偏差の2乗
\(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\)

③ 表より、(度数)×(偏差の2乗)の和を求めてデータの個数で割ると分散が求まります。
 
・別解
平均値を求めます。
階級値の2乗(階級値の2乗)×(度数)を表にまとめます。

階級値 度数 階級値の2乗 度数×階級値の2乗
\(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\) \(\vdots\)

階級値の2乗×度数の和を求めてデータの個数で割ります。
④ 分散が次の式で得られます。
(③で求めた値)−(平均値の2乗)

 

問題解説:度数分布表と分散

問題解説(1)

問題次の度数分布表について、以下の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) 平均値を求めよ。

以上〜未満 度数
\(0\) 〜 \(10\) \(2\)
\(10\) 〜 \(20\) \(7\)
\(20\) 〜 \(30\) \(12\)
\(30\) 〜 \(40\) \(15\)
\(40\) 〜 \(50\) \(4\)

データより階級値階級値×度数を表にまとめると、

以上〜未満 階級値 度数 階級値×度数
\(0\) 〜 \(10\) \(5\) \(2\) \(5\times2=10\)
\(10\) 〜 \(20\) \(15\) \(7\) \(15\times7=105\)
\(20\) 〜 \(30\) \(25\) \(12\) \(25\times12=300\)
\(30\) 〜 \(40\) \(35\) \(15\) \(35\times15=525\)
\(40\) 〜 \(50\) \(45\) \(4\) \(45\times4=180\)

データの個数の合計は、$$~~~2+7+12+15+4=40$$また、階級値×度数の合計は、$$~~~10+105+300+525+180=1120$$よって、平均値は$$~~~1120\div40=28$$答えは \(28\) となります。

 

問題解説(2)

問題\({\small (2)}\) 分散を求めよ。

平均値が \(28\) であるので、各階級での偏差偏差の2乗度数×偏差の2乗を表にまとめると、

階級値 度数 偏差 偏差の2乗 度数×偏差の2乗
\(5\) \(2\) \(-23\) \(529\) \(1058\)
\(15\) \(7\) \(-13\) \(169\) \(1183\)
\(25\) \(12\) \(-3\) \(9\) \(108\)
\(35\) \(15\) \(7\) \(49\) \(735\)
\(45\) \(4\) \(17\) \(289\) \(1156\)

表より、度数×偏差の2乗の合計は、$$~~~~~~1058+1183+108+735+1156$$$$~=4240$$また、データの個数が \(40\) 個より、分散は$$~~~4240\div40=106$$よって、答えは \(106\) となります。

 

【別解】
階級値の2乗度数×階級値の2乗を表にまとめると、

階級値 度数 階級値の2乗 度数×階級値の2乗
\(5\) \(2\) \(25\) \(50\)
\(15\) \(7\) \(225\) \(1575\)
\(25\) \(12\) \(625\) \(7500\)
\(35\) \(15\) \(1225\) \(18375\)
\(45\) \(4\) \(2025\) \(8100\)

ここで、度数×階級値の2乗の合計は、$$~~~~~~50+1575+7500+18375+8100$$$$~=35600$$データの個数が \(40\) であることより、度数×階級値の2乗の平均値は、$$~~~35600\div40=890$$また、データの平均値が \(28\) より、分散は$$~~~~~~890-28^2$$$$~=890-784$$$$~=106$$よって、答えは \(106\) となります。

 

今回のまとめ

度数分布表から分散を求めるときも2通りの解法を覚えておきましょう。また、計算するときは表を書いて考えるようにしましょう。

 

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