度数分布表と分散

2018.10.232020.06.09

度数分布表と分散の求め方
問題解説：度数分布表と分散
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

度数分布表と分散の求め方

Point：度数分布表と分散解法の手順は、
① 平均値を求めます。
② 平均値より各データの偏差と偏差の２乗、度数×偏差の２乗をそれぞれ求めます。

階級値	度数	偏差	偏差の２乗	度数×偏差の２乗
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

③ 表より、（度数）×（偏差の２乗）の和を求めてデータの個数で割ると分散が求まります。

・別解
① 平均値を求めます。
② 階級値の２乗と（階級値の２乗）×（度数）を表にまとめます。

階級値	度数	階級値の２乗	度数×階級値の２乗
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$

③ 階級値の２乗×度数の和を求めてデータの個数で割ります。
④ 分散が次の式で得られます。
（③で求めた値）−（平均値の２乗）

問題解説：度数分布表と分散

問題解説(1)

問題次の度数分布表について、以下の問いに答えよ。
${\small (1)}$ 平均値を求めよ。

以上〜未満	度数
$0$ 〜 $10$	$2$
$10$ 〜 $20$	$7$
$20$ 〜 $30$	$12$
$30$ 〜 $40$	$15$
$40$ 〜 $50$	$4$

データより階級値と階級値×度数を表にまとめると、

以上〜未満	階級値	度数	階級値×度数
$0$ 〜 $10$	$5$	$2$	$5\times2=10$
$10$ 〜 $20$	$15$	$7$	$15\times7=105$
$20$ 〜 $30$	$25$	$12$	$25\times12=300$
$30$ 〜 $40$	$35$	$15$	$35\times15=525$
$40$ 〜 $50$	$45$	$4$	$45\times4=180$

データの個数の合計は、$$~~~2+7+12+15+4=40$$また、階級値×度数の合計は、$$~~~10+105+300+525+180=1120$$よって、平均値は$$~~~1120\div40=28$$答えは $28$ となります。

問題解説(2)

問題${\small (2)}$ 分散を求めよ。

平均値が $28$ であるので、各階級での偏差、偏差の２乗、度数×偏差の２乗を表にまとめると、

階級値	度数	偏差	偏差の２乗	度数×偏差の２乗
$5$	$2$	$-23$	$529$	$1058$
$15$	$7$	$-13$	$169$	$1183$
$25$	$12$	$-3$	$9$	$108$
$35$	$15$	$7$	$49$	$735$
$45$	$4$	$17$	$289$	$1156$

表より、度数×偏差の２乗の合計は、$$~~~~~~1058+1183+108+735+1156$$$$~=4240$$また、データの個数が $40$ 個より、分散は$$~~~4240\div40=106$$よって、答えは $106$ となります。

【別解】
階級値の２乗と度数×階級値の２乗を表にまとめると、

階級値	度数	階級値の２乗	度数×階級値の２乗
$5$	$2$	$25$	$50$
$15$	$7$	$225$	$1575$
$25$	$12$	$625$	$7500$
$35$	$15$	$1225$	$18375$
$45$	$4$	$2025$	$8100$

ここで、度数×階級値の２乗の合計は、$$~~~~~~50+1575+7500+18375+8100$$$$~=35600$$データの個数が $40$ であることより、度数×階級値の２乗の平均値は、$$~~~35600\div40=890$$また、データの平均値が $28$ より、分散は$$~~~~~~890-28^2$$$$~=890-784$$$$~=106$$よって、答えは $106$ となります。

今回のまとめ

度数分布表から分散を求めるときも２通りの解法を覚えておきましょう。また、計算するときは表を書いて考えるようにしましょう。

【問題一覧】数学Ⅰ：データの分析

このページは「高校数学Ⅰ：データの分析」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないと...

以上〜未満	度数
\(0\) 〜 \(10\)	\(2\)
\(10\) 〜 \(20\)	\(7\)
\(20\) 〜 \(30\)	\(12\)
\(30\) 〜 \(40\)	\(15\)
\(40\) 〜 \(50\)	\(4\)

以上〜未満	階級値	度数	階級値×度数
\(0\) 〜 \(10\)	\(5\)	\(2\)	\(5\times2=10\)
\(10\) 〜 \(20\)	\(15\)	\(7\)	\(15\times7=105\)
\(20\) 〜 \(30\)	\(25\)	\(12\)	\(25\times12=300\)
\(30\) 〜 \(40\)	\(35\)	\(15\)	\(35\times15=525\)
\(40\) 〜 \(50\)	\(45\)	\(4\)	\(45\times4=180\)

階級値	度数	偏差	偏差の２乗	度数×偏差の２乗
\(5\)	\(2\)	\(-23\)	\(529\)	\(1058\)
\(15\)	\(7\)	\(-13\)	\(169\)	\(1183\)
\(25\)	\(12\)	\(-3\)	\(9\)	\(108\)
\(35\)	\(15\)	\(7\)	\(49\)	\(735\)
\(45\)	\(4\)	\(17\)	\(289\)	\(1156\)

階級値	度数	階級値の２乗	度数×階級値の２乗
\(5\)	\(2\)	\(25\)	\(50\)
\(15\)	\(7\)	\(225\)	\(1575\)
\(25\)	\(12\)	\(625\)	\(7500\)
\(35\)	\(15\)	\(1225\)	\(18375\)
\(45\)	\(4\)	\(2025\)	\(8100\)

階級値	度数	偏差	偏差の２乗	度数×偏差の２乗
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)

階級値	度数	階級値の２乗	度数×階級値の２乗
\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)	\(\vdots\)