多項定理の解法
Point：多項定理例えば、\((a+b+c)^6\) の展開したときの \(a^3b^2c\) の係数を求めよ。
・解法パターン１
二項定理を２回用いる解法となります。
\(\{(a+b)+c\}^6\) と考えると、\(c\) を含む項は二項定理より、\({}_{6}{\rm C}_{1}\cdot (a+b)^5 \cdot c \) となります。
また、\((a+b)^5\) を考えて \(b^2\) を含む項は二項定理より、\({}_{5}{\rm C}_{2}\cdot a^3 \cdot b^2 \) となります。以上より、\(a^3b^2c\) の項の係数は、$$~~~~~~{}_{6}{\rm C}_{1} \cdot {}_{5}{\rm C}_{2} \cdot a^3b^2c$$$$~=6\cdot10\cdot a^3b^2c$$$$~=60a^3b^2c$$よって、答えは \(60\) となります。
・解法パターン２
多項定理の公式を用いる解法となります。
\((a+b+c)^6\) は \((a+b+c)\) が６部屋あると考えて、６部屋から \(a\) を３か所から \(b\) を２か所から \(c\) を１か所から選んで取り出すので、 \(aaabbc\) の同じものを含む順列と同じだけ取り出し方が出てきます。
同じものを含む順列の計算をすると、 $$~~~~~~\frac{6!}{3!\cdot 2! \cdot 1!}a^3b^2c$$$$~=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 2\cdot 1} a^3b^2c$$$$~=60a^3b^2c$$よって、\(a^3b^2c\) の係数は \(60\) となります。
したがって、\((a+b+c)^n\) を展開したときの項 \(a^pb^qc^r\) の係数は、
・解法パターン１
二項定理を２回用いる解法となります。
\(\{(a+b)+c\}^6\) と考えると、\(c\) を含む項は二項定理より、\({}_{6}{\rm C}_{1}\cdot (a+b)^5 \cdot c \) となります。
また、\((a+b)^5\) を考えて \(b^2\) を含む項は二項定理より、\({}_{5}{\rm C}_{2}\cdot a^3 \cdot b^2 \) となります。以上より、\(a^3b^2c\) の項の係数は、$$~~~~~~{}_{6}{\rm C}_{1} \cdot {}_{5}{\rm C}_{2} \cdot a^3b^2c$$$$~=6\cdot10\cdot a^3b^2c$$$$~=60a^3b^2c$$よって、答えは \(60\) となります。
・解法パターン２
多項定理の公式を用いる解法となります。
\((a+b+c)^6\) は \((a+b+c)\) が６部屋あると考えて、６部屋から \(a\) を３か所から \(b\) を２か所から \(c\) を１か所から選んで取り出すので、 \(aaabbc\) の同じものを含む順列と同じだけ取り出し方が出てきます。
同じものを含む順列の計算をすると、 $$~~~~~~\frac{6!}{3!\cdot 2! \cdot 1!}a^3b^2c$$$$~=\frac{6\cdot5\cdot4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3\cdot 2 \cdot 1 \cdot 2\cdot 1} a^3b^2c$$$$~=60a^3b^2c$$よって、\(a^3b^2c\) の係数は \(60\) となります。
したがって、\((a+b+c)^n\) を展開したときの項 \(a^pb^qc^r\) の係数は、
$$\frac{n!}{p!\cdot q! \cdot r!}a^pb^qc^r~~~~~(n=p+q+r)$$
と表されます。
ここでは、計算式が楽な解法パターン２で解いていきます。
問題解説：多項定理
問題解説(1)
問題\((x+2y-3z)^5\) を展開したときの次の係数を求めよ。$${\small (1)}~x^2yz^2$$
\((x+2y-3z)^5\) は \((x+2y-3z)\) が５部屋あり、そこから \((x)\) を２か所から、\((2y)\) を１か所から、\((-3z)\) を２か所から選んで取り出せばよい。
よって、その取り出し方はこれら５つのものの同じものを含む順列として考えられる。
よって、\(x^2yz^2\) の項は、$$~~~~~~\frac{5!}{2!\cdot 1! \cdot 2!}x^2(2y)(-3z)^2$$$$~=\frac{5\cdot4\cdot3}{2\cdot 1}\cdot 2 \cdot 9 x^2yz^2$$$$~=30\cdot 18 x^2yz^2$$$$~=540x^2yz^2$$答えは、\(540\) となります。
問題解説(2)
問題\((x+2y-3z)^5\) を展開したときの次の係数を求めよ。$${\small (2)}~xyz^3$$
\((x+2y-3z)^5\) は \((x+2y-3z)\) が５部屋あり、そこから \((x)\) を１か所から、\((2y)\) を１か所から、\((-3z)\) を３か所から選んで取り出せばよい。
よって、その取り出し方はこれら５つのものの同じものを含む順列として考えられる。
よって、\(xyz^3\) の項は、$$~~~~~~\frac{5!}{1!\cdot 1! \cdot 3!}x(2y)(-3z)^3$$$$~=5 \cdot 4\cdot 2 \cdot (-27) xyz^3$$$$~=-1080xyz^3$$答えは、\(-1080\) となります。
今回のまとめ
多項定理では係数が３種類の項の取り出し方になり、その場合の数は「同じものを含む順列」で考えましょう。
【問題一覧】数学Ⅱ：式と証明
このページは「高校数学Ⅱ：式と証明」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...
yorikuwa.com
