２つの円の共有点の座標

2018.05.152020.06.09

２つの円の共有点の座標の解法
問題解説：２つの円の共有点の座標
今回のまとめ

２つの円の共有点の座標の解法

Point：２つの円の共有点の座標２つの円$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+l_1x+m_1y+n_1=0 ~\cdots{\small (a)} \\ ~x^2+y^2+l_2x+m_2y+n_2=0~\cdots{\small (b)} \end{eqnarray}$$の共有点の座標は、
① ${\small (a)}-{\small (b)}$ より、$x^2,y^2$ を消去して、$x,y$ の１次方程式を作ります。
② できた１次方程式と ${\small (a}$ または ${\small (b)}$ と連立して、$(x,y)$ の値を求めます。

問題解説：２つの円の共有点の座標

問題次の２つの円の共有点の座標を求めよ。$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+x-2y-5=0 \\~x^2+y^2=10 \end{eqnarray}$$

$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} ~x^2+y^2+x-2y-5=0 ~\cdots{\large ①}\\~x^2+y^2-10=0 ~\cdots{\large ②}\end{eqnarray}$$①−②より、$$~~~(x^2+y^2+x-2y-5)$$$$\hspace{50pt}-(x^2+y^2-10)=0$$$$\hspace{ 10 pt}x^2+y^2+x-2y-5-x^2-y^2+10=0$$$$\hspace{ 10 pt}x-2y+5=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=2y-5~\cdots③$$これを②に代入すると、$$\hspace{35pt}(2y-5)^2+y^2-10=0$$$$\hspace{ 10 pt}4y^2-20y+25+y^2-10=0$$$$\hspace{ 55 pt}5y^2-20y+15=0$$両辺を $5$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}y^2-4y+3=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(y-1)(y-3)=0$$$$\hspace{ 66 pt}y=1~,~3$$
( ⅰ ) $y=1$ のとき、③に代入すると、$$~~~x=2\cdot1-5$$$$\hspace{ 16 pt}=2-5$$$$\hspace{ 16 pt}=-3$$
( ⅱ ) $y=3$ のとき、③に代入すると、$$~~~x=2\cdot3-5$$$$\hspace{ 16 pt}=6-5$$$$\hspace{ 16 pt}=1$$
よって、答えは$$~~~(x,y)=(-3,1)~,~(1,3)$$となります。