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【問題演習】三角関数の値(単位円)

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三角関数の値の演習ページとなります。求め方や詳しい解説はこちらを確認してください↓

三角関数の値(単位円)
弧度法で角が与えられたときの三角関数の値の求め方を解説していきます。単位円を用いて求めることができるようになりましょう。また、

 

単位円と三角関数の値

Point:単位円と三角関数の値単位円上の点 \(P\) の座標が \((\cos{\theta}~,~\sin{\theta})\) となり、
原点と点 \(P\) を結んだ直線の傾きが \(\tan{\theta}\) となります。
・ \({\Large \frac{\pi}{6}}\) の倍数の角
与えられた角を \({\Large \frac{\pi}{6}}\) の何個分かを考えて、単位円上の位置を確認します。

・ \({\Large \frac{\pi}{4}}\) の倍数の角
与えられた角を \({\Large \frac{\pi}{4}}\) の何個分かを考えて、単位円上の位置を確認します。

 

 

問題演習:三角関数の値(単位円)

問題\(\theta\) が次の角のとき、\(\sin{\theta}\) \(,\) \(\cos{\theta}\) \(,\) \(\tan{\theta}\) の値を求めよ。$${\small (1)}~\theta=\frac{7}{6}\pi$$

[ 解答を見る ]

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が7個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題$${\small (2)}~\theta=\frac{\pi}{3}$$

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\({\Large \frac{\pi}{3}}={\Large \frac{2}{6}}\pi\) となり、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$となります。

 

問題$${\small (3)}~\theta=\frac{3}{4}\pi$$

[ 解答を見る ]

\({\Large \frac{\pi}{4}}\) が3個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{\theta}=-1$$となります。

 

問題$${\small (4)}~\theta=\pi$$

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\(\theta=\pi\) の単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=0$$$$~~~\cos{\theta}=-1$$$$~~~\tan{\theta}=0$$となります。

 

問題$${\small (5)}~\theta=\frac{2}{3}\pi$$

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\({\Large \frac{2}{3}}\pi={\Large \frac{4}{6}}\pi\) となり、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が4個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=-\sqrt{3}$$となります。

 



問題$${\small (6)}~\theta=\frac{11}{6}\pi$$

[ 解答を見る ]

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が11個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題$${\small (7)}~\theta=\frac{7}{4}\pi$$

[ 解答を見る ]

\({\Large \frac{\pi}{4}}\) が7個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{\theta}=-1$$となります。

 

問題$${\small (8)}~\theta=\frac{\pi}{4}$$

[ 解答を見る ]

\({\Large \frac{\pi}{4}}\) が1個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{\theta}=1$$となります。

 

問題$${\small (9)}~\theta=0$$

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\(\theta=0\) の単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=0$$$$~~~\cos{\theta}=1$$$$~~~\tan{\theta}=0$$となります。

 

問題$${\small (10)}~\theta=\frac{\pi}{6}$$

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\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が1個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 



問題$${\small (11)}~\theta=\frac{\pi}{2}$$

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\(\theta={\Large \frac{\pi}{2}}\) の単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=1$$$$~~~\cos{\theta}=0$$また、\(\tan{\theta}\) は解なしとなります。

 

問題$${\small (12)}~\theta=\frac{4}{3}\pi$$

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\({\Large \frac{4}{3}}\pi={\Large \frac{8}{6}}\pi\) となり、\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が8個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$となります。

 

問題$${\small (13)}~\theta=-\frac{7}{6}\pi$$

[ 解答を見る ]

逆向きに \({\Large \frac{\pi}{6}}\) が7個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題$${\small (14)}~\theta=-\frac{\pi}{3}$$

[ 解答を見る ]

\(-{\Large \frac{\pi}{3}}=-{\Large \frac{2}{6}}\pi\) となり、逆向きに \({\Large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=-\sqrt{3}$$となります。

 

問題$${\small (15)}~\theta=-\frac{5}{4}\pi$$

[ 解答を見る ]

逆向きに \({\Large \frac{\pi}{4}}\) が5個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{\theta}=-1$$となります。

 



問題$${\small (16)}~\theta=-\frac{5}{3}\pi$$

[ 解答を見る ]

\(-{\Large \frac{5}{3}}\pi=-{\Large \frac{10}{6}}\pi\) となり、逆向きに \({\Large \frac{\pi}{6}}\) が10個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$となります。

 

問題$${\small (17)}~\theta=\frac{19}{6}\pi$$

[ 解答を見る ]

単位円1周とさらに \({\Large \frac{\pi}{6}}\) が7個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{1}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$となります。

 

問題$${\small (18)}~\theta=\frac{13}{3}\pi$$

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\({\Large \frac{13}{3}}\pi={\Large \frac{26}{6}}\pi\) となり、単位円2周と \({\Large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$$$~~~\tan{\theta}=\sqrt{3}$$となります。

 

問題$${\small (19)}~\theta=\frac{15}{4}\pi$$

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単位円1周と \({\Large \frac{\pi}{4}}\) が7個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~~~\tan{\theta}=-1$$となります。

 

問題$${\small (20)}~\theta=\frac{7}{2}\pi$$

[ 解答を見る ]

単位円1周と \({\Large \frac{\pi}{2}}\) が3個分と考えると、単位円上の位置は次のようになります。

よって、答えは$$~~~\sin{\theta}=-1$$$$~~~\cos{\theta}=0$$また、\(\tan{\theta}\) は解なしとなります。

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