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三角関数の相互関係の公式

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今回の問題は「三角関数の相互関係の公式」です。

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\cos{\theta}={\Large \frac{3}{5}}\) のとき、\(\sin{\theta}~,~\tan{\theta}\) の値をそれぞれ求めよ。
\({\small (2)}\) \(\tan{\theta}=-3\) のとき、\(\sin{\theta}~,~\cos{\theta}\) の値をそれぞれ求めよ。

 

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相互関係の公式の使い方

Point:相互関係の公式

$$~{\large ①}~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}~~$$$$~{\large ②}~\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1~~$$$$~{\large ③}~1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}~~$$

( ⅰ ) \(\sin{\theta}\) (または\(\cos{\theta}\)) の値が与えられたとき、
②の公式より、\(\cos{\theta}\) (または \(\sin{\theta}\)) の値を求めます。
次に、①の公式より、\(\tan{\theta}\) の値を求めます。
 
( ⅱ ) \(\tan{\theta}\) の値が与えられたとき、
③の公式より、\(\cos{\theta}\) の値を求めます。
次に、①の公式より、\(\sin{\theta}\) の値を求めます。

 

問題解説:三角関数の相互関係の公式

問題解説(1)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (1)}\) \(\cos{\theta}={\Large \frac{3}{5}}\) のとき、\(\sin{\theta}~,~\tan{\theta}\) の値をそれぞれ求めよ。

\(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\) より、$$~~~\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}$$これに、\(\cos{\theta}={\Large \frac{3}{5}}\) を代入すると、$$\hspace{ 36 pt}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 36 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 36 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 36 pt}=\frac{16}{25}$$よって、$$~~~\sin{\theta}=\pm\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 32 pt}=\pm\frac{4}{5}$$
また、公式$$~~~\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$を用いて、\(\sin{\theta}={\Large \frac{4}{5}}~,~\cos{\theta}={\Large \frac{3}{5}}\) を代入すると、$$~~~\tan{\theta}=\frac{{\Large \frac{4}{5}}}{{\Large \frac{3}{5}}}$$分母分子に \(5\) をかけると、$$\hspace{ 32 pt}=\frac{{\Large \frac{4}{5}}\times 5}{{\Large \frac{3}{5}}\times5}$$$$\hspace{ 32 pt}=\frac{4}{3}$$
次に、\(\sin{\theta}=-{\Large \frac{4}{5}}~,~\cos{\theta}={\Large \frac{3}{5}}\) を代入すると、$$~~~\tan{\theta}=\frac{-{\Large \frac{4}{5}}}{{\Large \frac{3}{5}}}$$分母分子に \(5\) をかけると、$$\hspace{ 32 pt}=\frac{-{\Large \frac{4}{5}}\times 5}{{\Large \frac{3}{5}}\times5}$$$$\hspace{ 32 pt}=-\frac{4}{3}$$

よって、答えは、$$~~~\sin{\theta}=\frac{4}{5}~,~\tan{\theta}=\frac{4}{3}$$または、$$~~~\sin{\theta}=-\frac{4}{5}~,~\tan{\theta}=-\frac{4}{3}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
\({\small (2)}\) \(\tan{\theta}=-3\) のとき、\(\sin{\theta}~,~\cos{\theta}\) の値をそれぞれ求めよ。

公式より、$$\hspace{ 10 pt}1+\tan^2{\theta}=\frac{1}{\cos^2{\theta}}$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{1}{\cos^2{\theta}}=1+\tan^2{\theta}$$両辺の逆数をとると、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\theta}=\frac{1}{1+\tan^2{\theta}}$$これに、\(\tan{\theta}=-3\) を代入すると、$$\hspace{ 36 pt}=\frac{1}{1+(-3)^2}$$$$\hspace{ 36 pt}=\frac{1}{1+9}$$$$\hspace{ 36 pt}=\frac{1}{10}$$よって、$$\cos{\theta}=\pm\frac{1}{\sqrt{10}}$$
また、公式より、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}$$両辺を入れ替えると、$$\hspace{ 10 pt}\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\tan{\theta}$$両辺に \(\cos{\theta}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\theta}=\tan{\theta}\cdot\cos{\theta}$$
この式に、\(\tan{\theta}=-3~,~\cos{\theta}={\Large \frac{1}{\sqrt{10}}}\) を代入すると、$$~~~\sin{\theta}=(-3)\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}$$$$\hspace{ 32 pt}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$$
また、\(\tan{\theta}=-3~,~\cos{\theta}=-{\Large \frac{1}{\sqrt{10}}}\) を代入すると、$$~~~\sin{\theta}=(-3)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$$$\hspace{ 32 pt}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$
よって、答えは、$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{\sqrt{10}}~,~\sin{\theta}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$$または、$$~~~\cos{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{10}}~,~\sin{\theta}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の相互関係の公式は与えられた三角関数によって、公式を選択できるようになりましょう。

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