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三角関数の式の値

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今回の問題は「三角関数の式の値」です。

問題\(\sin{\theta}+\cos{\theta}={\Large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{\theta}\cos{\theta}$$$${\small (2)}~\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}$$

 

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三角関数の式の値の求め方

Point:三角関数の積の値・ \(\sin{\theta}\cos{\theta}\) の値
\(\sin{\theta}+\cos{\theta}=a\) が与えられた場合$$\hspace{ 10 pt}\sin{\theta}+\cos{\theta}=a$$この式の両辺を2乗すると、$$\hspace{ 67 pt}(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2=a^2$$$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}=a^2$$$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}=a^2$$ここで、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) より、$$\hspace{ 10 pt}1+2\sin{\theta}\cos{\theta}=a^2$$この式より、\(\sin{\theta}\cos{\theta}\) の値を求めます。

Point:三角関数と対称式

・ \(\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}\) の値
\(a~,~b\) についての対称式より、$$~~~a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$$この式より、\(a=\sin{\theta}~,~b=\cos{\theta}\) として、$$~~~~~~\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}$$$$~=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^3$$$$\hspace{50pt}-3\sin{\theta}\cos{\theta}(\sin{\theta}+\cos{\theta})$$この式を用いて計算します。

 

問題解説:三角関数の式の値

問題解説(1)

問題\(\sin{\theta}+\cos{\theta}={\Large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{\theta}\cos{\theta}$$

\(\sin{\theta}+\cos{\theta}={\Large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) より、両辺を2乗すると、$$\hspace{ 22 pt}\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2$$展開すると、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}+\cos^2{\theta}=\frac{2}{4}$$$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+2\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$ここで、\(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) より、$$\hspace{ 10 pt}1+2\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$移項して、計算すると、$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1}{2}-1$$$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\theta}\cos{\theta}=\frac{1-2}{2}$$$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{1}{4}$$よって答えは、$$~~~\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{1}{4}$$となります。

 

問題解説(2)

問題\(\sin{\theta}+\cos{\theta}={\Large \frac{\sqrt{2}}{2}}\) のとき、次の式の値を求めよ。$${\small (2)}~\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}$$

次の等式より、$$~~~~~~\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}$$$$~=(\sin{\theta}+\cos{\theta})^3$$$$\hspace{50pt}-3\sin{\theta}\cos{\theta}(\sin{\theta}+\cos{\theta})$$この式に、$$~~~\sin{\theta}+\cos{\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}~,~\sin{\theta}\cos{\theta}=-\frac{1}{4}$$を代入すると、$$~=\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^3-3\cdot \left(-\frac{1}{4} \right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$$$~=\frac{2\sqrt{2}}{8}+\frac{3\sqrt{2}}{8}$$$$~=\frac{5\sqrt{2}}{8}$$よって、答えは、$$~~~\sin^3{\theta}+\cos^3{\theta}=\frac{5\sqrt{2}}{8}$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の式の値を求める問題は、与えられた条件式を2乗した式を求めることから始めましょう。

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