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三角関数のグラフ③(周期の変化)

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今回の問題は「三角関数のグラフ③(周期の変化)」です。

問題次の関数のグラフを描き、周期を答えよ。$${\small (1)}~y=\sin{2\theta}$$$${\small (2)}~y=\cos{\frac{\theta}{2}}$$$${\small (3)}~y=\tan{\frac{\theta}{2}}$$

 

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三角関数の周期の変化

Point:三角関数の周期の変化\(y=\sin{b\theta}\) のグラフは、\(y=\sin{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \({\Large \frac{1}{b}}\) 倍したグラフとなります。
 
例えば、\(y=\sin{{\Large \frac{\theta}{2}}}\) は、\(y=\sin{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(2\) 倍したグラフとなります。

このとき、通る点や \(y=\pm1\) となる点もすべて \(2\) 倍の位置にきます。
また、周期も \(2\) 倍となるので \(4\pi\) となります。

 

問題解説:三角関数のグラフ③(周期の変化)

問題解説(1)

問題次の関数のグラフを描き、周期を答えよ。$${\small (1)}~y=\sin{2\theta}$$

このグラフは \(y=\sin{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \({\Large \frac{1}{2}}\) 倍したグラフとなります。
① 通る点などを書き込んでいきます。
\(y=\sin{\theta}\) での \(\theta\) 軸上の点や \(y=\pm1\) となる点は、$$~~~-\frac{\pi}{2}~,~0~,~\frac{\pi}{2}~,~\pi~,~\frac{3}{2}\pi~,~2\pi~,~\cdots$$となりますが、それぞれ \({\Large \frac{1}{2}}\) 倍の位置となるので、$$~~~-\frac{\pi}{4}~,~0~,~\frac{\pi}{4}~,~\frac{\pi}{2}~,~\frac{3}{4}\pi~,~\pi~,~\cdots$$これらの点を書き込みます。

② 点を曲線で結びます。また、点の座標や、\(y=\pm1\) の線を書き込みます。

また、周期も\({\Large \frac{1}{2}}\) 倍となるので、 \(\pi\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数のグラフを描き、周期を答えよ。$${\small (2)}~y=\cos{\frac{\theta}{2}}$$

このグラフは \(y=\cos{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(2\) 倍したグラフとなります。
① 通る点などを書き込んでいきます。
\(y=\cos{\theta}\) での \(\theta\) 軸上の点や \(y=\pm1\) となる点は、$$~~~-\frac{\pi}{2}~,~0~,~\frac{\pi}{2}~,~\pi~,~\frac{3}{2}\pi~,~2\pi~,~\cdots$$となりますが、それぞれ \(2\) 倍の位置となるので、$$~~~-\pi~,~0~,~\pi~,~2\pi~,~3\pi~,~4\pi~,~\cdots$$これらの点を書き込みます。

② 点を曲線で結びます。また、点の座標や、\(y=\pm1\) の線を書き込みます。

また、周期も\(2\) 倍となるので、 \(4\pi\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の関数のグラフを描き、周期を答えよ。$${\small (3)}~y=\tan{\frac{\theta}{2}}$$

このグラフは \(y=\tan{\theta}\) のグラフを \(\theta\) 軸方向に \(2\) 倍したグラフとなります。
① 通る点と漸近線を書き込んでいきます。
\(y=\tan{\theta}\) のグラフでは、$$~~~0~,~\pi~,~\cdots$$を通り、漸近線の位置が$$~~~-\frac{\pi}{2}~,~\frac{\pi}{2}~,~\frac{3}{2}\pi~,~\cdots$$となりますが、\(2\)倍の位置になるので、$$~~~0~,~2\pi~,~\cdots$$を通り、漸近線の位置が$$~~~-\pi~,~\pi~,~3\pi~,~\cdots$$となります。

② 点を曲線で結んで、漸近線に近づくようにグラフを描きます。また、点の座標を書き込みます。

また、周期も\(2\) 倍となるので、 \(2\pi\) となります。

 

今回のまとめ

周期の変化する三角関数のグラフは、まず何倍になるかを確認し、通る点や漸近線の位置などを決めてからグラフを描きましょう。