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三角関数を含む不等式②(範囲変化)

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今回の問題は「三角関数を含む不等式②(範囲変化)」です。

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}≧\frac{1}{2}$$$${\small (2)}~\cos{\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}>\frac{1}{\sqrt{2}}$$$${\small (3)}~\tan{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}≦\sqrt{3}$$

 

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範囲が変化する三角関数

Point:範囲が変化する三角関数三角関数の角の部分が、$$~~~\theta+\frac{\pi}{4}$$などとなっているときは、元の \(\theta\) の範囲 \(0≦\theta<2\pi\) を用いて、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$となります。 したがって、単位円上では
\({\large \frac{\pi}{4}}\) から一周した範囲で考えます。

 

問題解説:三角関数を含む不等式②(範囲変化)

問題解説(1)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)}≧\frac{1}{2}$$

\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~\frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$この範囲で、直線 \(y={\large \frac{1}{2}}\) と単位円との交点は、
\({\large \frac{\pi}{6}}\) が5個分と13個分となるので、$$~~~\frac{5}{6}\pi~,~\frac{13}{6}\pi$$したがって、単位円上で直線 \(y={\large \frac{1}{2}}\) より上の範囲となるので、

範囲に注意して、解を求めると$$~~~\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}≦\frac{5}{6}\pi~\cdots{\large ①} \\ \frac{13}{6}\pi≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}~\cdots{\large ②} \end{eqnarray}$$①より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{\pi}{4}≦\theta+\frac{\pi}{4}≦\frac{5}{6}\pi$$$$\hspace{ 10 pt} \frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}≦\theta≦\frac{5}{6}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 36 pt}0≦\theta≦\frac{10-3}{12}\pi$$$$\hspace{ 36 pt}0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi$$また、②より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{13}{6}\pi≦\theta+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt} \frac{13}{6}\pi-\frac{\pi}{4}≦\theta<2\pi+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 15 pt}\frac{26-3}{12}\pi≦\theta<2\pi$$$$\hspace{ 32 pt}\frac{23}{12}\pi≦\theta<2\pi$$よって、答えは、$$~~~ 0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi~,~ \frac{23}{12}\pi≦\theta<2\pi$$となります。  

問題解説(2)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (2)}~\cos{\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)}>\frac{1}{\sqrt{2}}$$

\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~-\frac{\pi}{3}≦\theta-\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}$$この範囲で、直線 \(x={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}\) と単位円との交点は、
\({\large \frac{\pi}{4}}\) が −1個分と1個分となるので、$$~~~-\frac{\pi}{4}~,~\frac{\pi}{4}$$したがって、単位円上で直線 \(x={\large \frac{1}{\sqrt{2}}}\) より右の範囲となるので、

範囲に注意して、解を求めると$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}<\theta-\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{4}$$これを計算すると、$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}<\theta<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{10 pt}\frac{-3+4}{12}\pi<\theta<\frac{3+4}{12}\pi$$$$\hspace{ 35 pt}\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7}{12}\pi$$よって、答えは$$~~~\frac{\pi}{12}<\theta<\frac{7}{12}\pi$$となります。  

問題解説(3)

問題次の不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (3)}~\tan{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}≦\sqrt{3}$$

\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~-\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$この範囲で、直線 \(y=\sqrt{3}x\) と単位円との交点は、
\({\large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と8個分となるので、$$~~~\frac{2}{6}\pi=\frac{\pi}{3}~,~\frac{8}{6}\pi=\frac{4}{3}\pi$$したがって、単位円上で直線 \(y=\sqrt{3}x\) より傾きが小さくなる範囲を考えると、第2象限と第4象限も含めて、

範囲に注意して、解を求めると$$~~~ \begin{eqnarray} -\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{\pi}{3}~\cdots{\large ①} \\ \frac{\pi}{2}<\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{4}{3}\pi~\cdots{\large ②} \\ \frac{3}{2}\pi<\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}~\cdots{\large ③} \end{eqnarray}$$①より、$$\hspace{ 20 pt} -\frac{\pi}{4}≦\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}≦\theta≦\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 43 pt}0≦\theta≦\frac{4+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 43 pt}0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi$$また、②より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{\pi}{2}<\theta-\frac{\pi}{4}≦\frac{4}{3}\pi$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}<\theta≦\frac{4}{3}\pi+\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{2+1}{4}\pi<\theta≦\frac{16+3}{12}\pi$$$$\hspace{ 28 pt}\frac{3}{4}\pi<\theta≦\frac{19}{12}\pi$$また、③より、$$\hspace{ 20 pt} \frac{3}{2}\pi<\theta-\frac{\pi}{4}<2\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{3}{2}\pi+\frac{\pi}{4}<\theta<2\pi$$$$\hspace{ 14 pt}\frac{6+1}{4}\pi<\theta<2\pi$$$$\hspace{ 30 pt}\frac{7}{4}\pi<\theta<2\pi$$よって、答えは、$$~~~ 0≦\theta≦\frac{7}{12}\pi~,~ \frac{3}{4}\pi<\theta≦\frac{19}{12}\pi$$$$~~~\frac{7}{4}\pi<\theta<2\pi$$となります。  

今回のまとめ

範囲が変化するときは、まず変化後の範囲を単位円上に表しましょう。不等式の解は単位円の内部と直線の領域との共通範囲から求めましょう。

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