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三角関数を含む2次方程式

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今回の問題は「三角関数を含む2次方程式」です。

問題次の2次方程式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (1)}~2\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sin{\theta}-\cos{\theta}-1=0$$$${\small (2)}~2\sin^2{\theta}-3\cos{\theta}-3=0$$

 

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三角関数を含む2次方程式

Point:三角関数を含む2次方程式・\(\sin{\theta}~,~\cos{\theta}\) を含む方程式
\(\sin{\theta}=s~,~\cos{\theta}=t\) と別の文字に置き換えます。このとき、\(s~,~t\) の値の範囲に注意しましょう。
\(s~,~t\) の文字式として因数分解をして方程式を解きます。
\(s~,~t\) を \(\sin{\theta}~,~\cos{\theta}\) に戻して \(\theta\) の値を求めます。
※置き換えをせずにそのまま因数分解をしても良い。
 
・\(\sin^2{\theta}\) または \(\cos^2{\theta}\) を含む式
① \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) を用いて与えられた式を1種類の三角関数の式にします。このとき、与えられた式の中の1次式の三角関数に揃えましょう。
② 1種類にした \(\sin{\theta}(\cos{\theta})\) を別の文字 \(t\) に置き換えます。このとき、\(t\) の値の範囲に注意しましょう。
③ 置き換えた \(t\) の2次方程式として解を求めます。
④ \(t\) を三角関数の式に戻して、\(\theta\) の値を求めます。

 

問題解説:三角関数を含む2次方程式

問題解説(1)

問題次の2次方程式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$$~~~2\sin{\theta}\cos{\theta}+2\sin{\theta}-\cos{\theta}-1=0$$

\(\sin{\theta}=s~,~\cos{\theta}=t\) とすると、それぞれの値の範囲は \(0≦\theta<2\pi\) より、$$~~~-1≦s≦1~,~-1≦t≦1$$与えられた式を置き換えると、$$~~~2st+2s-t-1=0$$\(s\) について整理すると、$$~~~2(t+1)s-(t+1)=0$$共通因数の \(t+1\) でくくると、$$~~~(t+1)(2s-1)=0$$よって、この方程式の解は$$~~~t+1=0$$または$$~~~2s-1=0$$となります。 ( ⅰ ) \(t+1=0\) のとき、 \(t=\cos{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}+1=0$$$$\hspace{ 27 pt}\cos{\theta}=-1$$\(0≦\theta<2\pi\) の範囲で単位円より、
$$~~~\theta=\pi$$
( ⅱ ) \(2s-1=0\) のとき、
\(s=\sin{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\theta}-1=0$$移項して、整理すると、$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\theta}=1$$$$\hspace{ 17 pt}\sin{\theta}=\frac{1}{2}$$\(0≦\theta<2\pi\) の範囲で単位円より、

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が1個分と5個分となるので、$$~~~\theta=\frac{\pi}{6}~,~\frac{5}{6}\pi$$
よって、( ⅰ )と( ⅱ )より答えは、$$~~~\theta=\frac{\pi}{6}~,~\frac{5}{6}\pi~,~\pi$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の2次方程式の解を求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$${\small (2)}~2\sin^2{\theta}-3\cos{\theta}-3=0$$

1次式の三角関数が \(\cos{\theta}\) であることより、\(\cos{\theta}\) で統一しましょう。
\(\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}2(1-\cos^2{\theta})-3\cos{\theta}-3=0$$$$\hspace{ 14 pt}2-2\cos^2{\theta}-3\cos{\theta}-3=0$$$$\hspace{ 20 pt}-2\cos^2{\theta}-3\cos{\theta}-1=0$$$$\hspace{ 25 pt}2\cos^2{\theta}+3\cos{\theta}+1=0$$\(\cos{\theta}=t\) とすると、値の範囲は \(0≦\theta<2\pi\) より、$$~~~-1≦t≦1$$式を置き換えると、 $$\hspace{ 10 pt}2t^2+3t+1=0$$左辺を因数分解すると、$$\hspace{ 10 pt}(2t+1)(t+1)=0$$よって、この方程式の解は$$~~~2t+1=0$$または$$~~~t+1=0$$となります。 ( ⅰ ) \(2t+1=0\) のとき、 \(t=\cos{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}2\cos{\theta}+1=0$$移項して、整理すると、$$\hspace{ 10 pt}2\cos{\theta}=-1$$$$\hspace{ 17 pt}\cos{\theta}=-\frac{1}{2}$$\(0≦\theta<2\pi\) の範囲で単位円より、

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が4個分と8個分となるので、$$~~~\theta=\frac{4}{6}\pi=\frac{2}{3}\pi$$$$~~~\theta=\frac{8}{6}\pi=\frac{4}{3}\pi$$
( ⅱ ) \(t+1=0\) のとき、
\(t=\cos{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\theta}+1=0$$$$\hspace{ 27 pt}\cos{\theta}=-1$$\(0≦\theta<2\pi\) の範囲で単位円より、
$$~~~\theta=\pi$$
よって、( ⅰ )と( ⅱ )より答えは、$$~~~\theta=\frac{2}{3}\pi~,~\pi~,~\frac{4}{3}\pi$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数を含む複雑な方程式は、三角関数を別の文字に置き換えて因数分解を用いて解きましょう。

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