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三角関数を含む2次関数

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今回の問題は「三角関数を含む2次関数」です。

問題次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの \(\theta\) の値も求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$$~~~y=\sin^2{\theta}+\cos{\theta}+1$$

 

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三角関数を含む2次関数

Point:三角関数を含む2次関数① \(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1\) を用いて与えられた式を1種類の三角関数の式にします。このとき、与えられた関数の中の1次式の三角関数に揃えましょう。
② 1種類にした \(\sin{\theta}(\cos{\theta})\) を別の文字 \(t\) に置き換えます。このとき、\(t\) の値の範囲に注意しましょう。
③ 置き換えた \(t\) の2次関数としてグラフを描き、最大値と最小値を求めます。
④ 最大値と最小値をとる \(t\) の値より、\(t\) を三角関数の式に戻して、\(\theta\) の値を求めます。

 

問題解説:三角関数を含む2次関数

問題次の関数の最大値と最小値を求め、そのときの \(\theta\) の値も求めよ。ただし、\(0≦\theta<2\pi\) とする。$$~~~y=\sin^2{\theta}+\cos{\theta}+1$$

三角関数の相互関係の公式 \(\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}\) より、$$\hspace{ 10 pt}y=1-\cos^2{\theta}+\cos{\theta}+1$$$$\hspace{ 18 pt}=-\cos^2{\theta}+\cos{\theta}+2$$ここで、\(\cos{\theta}=t\) とすると、\(0≦\theta<2\pi\) であることより、$$~~~-1≦\cos{\theta}≦1$$よって、$$~~~-1≦t≦1$$となります。 これより、与式は$$\hspace{ 10 pt}y=-t^2+t+2~~~(-1≦t≦1)$$平方完成していくと、$$\hspace{ 10 pt}y=-(t^2-t)+2$$$$\hspace{ 18 pt}=-\left( t^2-t+\frac{1}{4}-\frac{1}{4} \right)+2$$$$\hspace{ 18 pt}=-\left( t^2-t+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}+2$$$$\hspace{ 18 pt}=-\left( t-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{1+8}{4}$$$$\hspace{ 18 pt}=-\left( t-\frac{1}{2} \right)^2+\frac{9}{4}$$よって、軸が \(t={\Large \frac{1}{2}}\) で上に凸のグラフとなり、定義域が \(-1≦t≦1\) であることより、

\(t={\Large \frac{1}{2}}\) のとき最大値をとり、その値は頂点の \(y\) 座標となるので、$$~~~\frac{9}{4}$$となります。
また、\(t={\Large \frac{1}{2}}\) より、$$~~~\cos{\theta}=\frac{1}{2}$$ となるので、単位円の \(0≦\theta<2\pi\) の範囲より、

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と10個分となるので、$$~~~\theta=\frac{2}{6}\pi=\frac{\pi}{3}$$$$~~~\theta=\frac{10}{6}\pi=\frac{5}{3}\pi$$
次に、\(t=-1\) のとき最小値をとり、その値は代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-(-1)^2+(-1)+2$$$$\hspace{ 18 pt}=-1-1+2$$$$\hspace{ 18 pt}=0$$したがって、最小値 \(0\) となります。
また、\(t=-1\) より \(\cos{\theta}=-1\) となるので、単位円の \(0≦\theta<2\pi\) の範囲より、

$$~~~\theta=\pi$$
以上より、答えは
最大値が$$~~~\frac{9}{4}~~~\left(\theta=\frac{\pi}{3}~,~\frac{5}{3}\pi\right)$$最小値が$$~~~-1~~~(\theta=\pi)$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の最大値と最小値を求める問題は、三角関数を \(t\) と置き換え \(t\) についての2次関数として考えましょう。

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