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加法定理

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今回の問題は「加法定理」です。

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{75^\circ}$$$${\small (2)}~\cos{165^\circ}$$$${\small (3)}~\tan{15^\circ}$$$${\small (4)}~\sin{\frac{\pi}{12}}$$$${\small (5)}~\cos{\frac{7}{12}\pi}$$$${\small (6)}~\tan{\frac{5}{12}\pi}$$

 

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加法定理

Point:加法定理正弦の加法定理

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$$$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

余弦の加法定理

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$$$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

正接の加法定理

$$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$$$\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

Point:有名角以外の三角関数

\(30^\circ~,~45^\circ~,~60^\circ~,~120^\circ~,~135^\circ~,~150^\circ\) の和や差をより、以下の角を表します。

$$75^\circ=45^\circ+30^\circ$$$$15^\circ=45^\circ-30^\circ=60^\circ-45^\circ$$$$105^\circ=60^\circ+45^\circ=150^\circ-45^\circ$$$$165^\circ=120^\circ+45^\circ=135^\circ+30^\circ$$

これらと加法定理より三角関数の値を求めます。
 
また、弧度法の場合はそのままだとわかりにくいので、度数法にして考えましょう。\({\Large \frac{180}{\pi}}\) をかけて度数法にすると、$$~~~\frac{7}{12}\pi=75^\circ$$これより、$$~~~75^\circ=45^\circ+30^\circ=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$$よって、$$~~~\frac{7}{12}\pi=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$$これと加法定理より、三角関数の値を求めよ。

 

問題解説:加法定理

問題解説(1)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (1)}~\sin{75^\circ}$$

\(75^\circ=45^\circ+30^\circ\) より、$$~~~~~~\sin{75^\circ}$$$$~=\sin{(45^\circ+30^\circ)}$$加法定理より、$$~=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}$$$$~=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$$分母分子に \(\sqrt{2}\) をかけると、$$~=\frac{(\sqrt{3}+1)\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+1\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}$$$$~=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$よって、答えは$$~~~\sin{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (2)}~\cos{165^\circ}$$

\(165^\circ=135^\circ+30^\circ\) より、$$~~~~~~\cos{165^\circ}$$$$~=\cos{(135^\circ+30^\circ)}$$加法定理より、$$~=\cos{135^\circ}\cos{30^\circ}-\sin{135^\circ}\sin{30^\circ}$$$$~=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}$$$$~=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$$$~=-\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$$分母分子に \(\sqrt{2}\) をかけると、$$~=-\frac{(\sqrt{3}+1)\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$$$~=-\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+1\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}$$$$~=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$よって、答えは$$~~~\cos{165^\circ}=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$$となります。

この問題は \(165^\circ=120^\circ+45^\circ\) と考えてもよい。

 

問題解説(3)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (3)}~\tan{15^\circ}$$

\(15^\circ=60^\circ-45^\circ\) より、$$~~~~~~\tan{15^\circ}$$$$~=\tan{(60^\circ-45^\circ)}$$加法定理より、$$~=\frac{\tan{60^\circ}-\tan{45^\circ}}{1+\tan{60^\circ}\cdot\tan{45^\circ}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\cdot1}$$$$~=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$$分母分子に \(\sqrt{3}-1\) をかけると、$$~=\frac{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)}$$$$~=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}$$$$~=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$$$~=2-\sqrt{3}$$よって、答えは$$~~~\tan{15^\circ}=2-\sqrt{3}$$となります。

この問題は \(15^\circ=45^\circ-30^\circ\) と考えてもよい。

 

問題解説(4)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (4)}~\sin{\frac{\pi}{12}}$$

\({\Large \frac{180}{\pi}}\) をかけて度数法にすると、$$~~~\frac{\pi}{12}=15^\circ=45^\circ-30^\circ$$これより、$$~~~~~~\sin{\frac{\pi}{12}}$$$$~=\sin{(45^\circ-30^\circ)}$$加法定理より、$$~=\sin{45^\circ}\cos{30^\circ}-\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}$$$$~=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{1}{2}$$$$~=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$$分母分子に \(\sqrt{2}\) をかけると、$$~=\frac{(\sqrt{3}-1)\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}-1\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}$$$$~=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$よって、答えは$$~~~\sin{75^\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$$となります。

 

問題解説(5)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (5)}~\cos{\frac{7}{12}\pi}$$

\({\Large \frac{180}{\pi}}\) をかけて度数法にすると、$$~~~\frac{7}{12}\pi=105^\circ=150^\circ-45^\circ$$これより、$$~~~~~~\cos{\frac{7}{12}\pi}$$$$~=\cos{(150^\circ-45^\circ)}$$加法定理より、$$~=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}$$$$~=-\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$$$$~=\frac{-\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$$分母分子に \(\sqrt{2}\) をかけると、$$~=\frac{(-\sqrt{3}+1)\cdot\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$$$~=\frac{-\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}+1\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}$$$$~=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$よって、答えは$$~~~\cos{\frac{7}{12}\pi}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$となります。

 

問題解説(6)

問題次の三角関数の値を求めよ。$${\small (6)}~\tan{\frac{5}{12}\pi}$$

\({\Large \frac{180}{\pi}}\) をかけて度数法にすると、$$~~~\frac{5}{12}\pi=75^\circ=45^\circ+30^\circ$$これより、$$~~~~~~\tan{\frac{5}{12}\pi}$$$$~=\tan{(45^\circ+30^\circ)}$$加法定理より、$$~=\frac{\tan{45^\circ}+\tan{30^\circ}}{1-\tan{45^\circ}\cdot\tan{30^\circ}}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}}{1-1\cdot{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}}{1-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}}$$分母分子に \(\sqrt{3}\) をかけると、$$~= \frac{\left(1+{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)\cdot\sqrt{3}}{\left(1-{\large \frac{1}{\sqrt{3}}}\right)\cdot\sqrt{3}}$$$$~=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$$分母分子に \(\sqrt{3}+1\) をかけると、$$~=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$$$$~=\frac{3+2\sqrt{3}+1}{3-1}$$$$~=\frac{4+2\sqrt{3}}{2}$$$$~=2+\sqrt{3}$$よって、答えは$$~~~\tan{\frac{5}{12}\pi}=2+\sqrt{3}$$となります。

 

今回のまとめ

有名角以外の三角関数の値は、有名角を用いて表し加法定理を用いて計算しましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:三角関数
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