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加法定理と式の値

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今回の問題は「加法定理と式の値」です。

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。ただし、\(\alpha\) は第3象限、\(\beta\) は第4象限の角とする。$$~~~~~\sin{\alpha}=-\frac{3}{5}~,~\cos{\beta}=\frac{1}{3}$$$${\small (1)}~\sin{(\alpha+\beta)}$$$${\small (2)}~\cos{(\alpha-\beta)}$$

 

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加法定理と式の値

Point:加法定理と式の値\(\alpha~,~\beta\) の2つの角についての三角関数の式の値は、次の表を完成させて問題を解いていきましょう。

\(\sin{}\) \(\cos{}\)
\(\alpha\)
\(\beta\)

不明な三角関数の値は、相互関係の公式を用いて求めましょう。このとき、\(\alpha~,~\beta\) の角の範囲に注意して正負の値を確認しましょう。

Point:加法定理

正弦の加法定理

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$$$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

余弦の加法定理

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$$$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

正接の加法定理

$$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$$$\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

 

問題解説:加法定理と式の値

問題解説(1)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。ただし、\(\alpha\) は第3象限、\(\beta\) は第4象限の角とする。$$~~~~~\sin{\alpha}=-\frac{3}{5}~,~\cos{\beta}=\frac{1}{3}$$$${\small (1)}~\sin{(\alpha+\beta)}$$

問題文より、三角関数の値を表にまとめると、

\(\sin{}\) \(\cos{}\)
\(\alpha\) \(-{\Large \frac{3}{5}}\)
\(\beta\) \({\Large \frac{1}{3}}\)

角 \(\alpha\) について、相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(-\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、\(\alpha\) は第3象限の角より、\(\cos{\alpha}<0\) となります。 よって、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$ 次に、角 \(\beta\) について、相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\sin^2{\beta}=1-\cos^2{\beta}$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\left(\frac{1}{3}\right)^2$$$$\hspace{ 37 pt}=1-\frac{1}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{9-1}{9}$$$$\hspace{ 37 pt}=\frac{8}{9}$$ここで、\(\beta\) は第4象限の角より、\(\sin{\beta}<0\) となります。 よって、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}$$$$\hspace{ 32 pt}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$$以上より、表が完成します。

\(\sin{}\) \(\cos{}\)
\(\alpha\) \(-{\Large \frac{3}{5}}\) \(-{\Large \frac{4}{5}}\)
\(\beta\) \(-{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}\) \({\Large \frac{1}{3}}\)

よって、加法定理より、$$~~~~~~\sin{(\alpha+\beta)}$$$$~=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$$$~=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\frac{1}{3}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$$$~=-\frac{3}{15}+\frac{8\sqrt{2}}{15}$$$$~=\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$$よって、答えは$$~~~\sin{(\alpha+\beta)}=\frac{8\sqrt{2}-3}{15}$$となります。

 

問題解説(2)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。ただし、\(\alpha\) は第3象限、\(\beta\) は第4象限の角とする。$$~~~~~\sin{\alpha}=-\frac{3}{5}~,~\cos{\beta}=\frac{1}{3}$$$${\small (2)}~\cos{(\alpha-\beta)}$$

問題(1)より、表は次のようになります。

\(\sin{}\) \(\cos{}\)
\(\alpha\) \(-{\Large \frac{3}{5}}\) \(-{\Large \frac{4}{5}}\)
\(\beta\) \(-{\Large \frac{2\sqrt{2}}{3}}\) \({\Large \frac{1}{3}}\)

加法定理を用いると、$$~~~~~~\cos{(\alpha-\beta)}$$$$~=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$$$~=\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot\frac{1}{3}+\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$$$~=-\frac{4}{15}+\frac{6\sqrt{2}}{15}$$$$~=\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$$よって、答えは$$~~~\cos{(\alpha-\beta)}=\frac{6\sqrt{2}-4}{15}$$となります。

 

今回のまとめ

加法定理を用いて三角関数の値を求めるときは、\(\alpha\) と \(\beta\) の値が混合しないように表まとめて計算していきましょう。

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