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2倍角の公式

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今回の問題は「2倍角の公式」です。

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{2\alpha}$$$${\small (2)}~\cos{2\alpha}$$$${\small (3)}~\tan{2\alpha}$$

 

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2倍角の公式

Point:2倍角の公式

$$~{\small (1)}~\sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}~~$$$$~{\small (2)}~\cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}~~$$$$\hspace{ 47 pt}=2\cos^2{\alpha}-1~~$$$$\hspace{ 47 pt}=1-2\sin^2{\alpha}~~$$$$~{\small (3)}~\tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}~~$$

これらの公式は、加法定理の公式を \(\beta\to\alpha\) とするとこにより導き出せます。
また、公式を使うときは先に相互関係の公式より、\(\sin{\alpha}\)\(~,~\)\(\cos{\alpha}\)\(~,~\)\(\tan{\alpha}\) の値を求めておきましょう。

 

問題解説:2倍角の公式

問題解説(1)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{2\alpha}$$

相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、\(\alpha\) は第2象限の角より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$また、\(\tan{\alpha}\) は、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{{\large \frac{3}{5}}}{-{\large \frac{4}{5}}}$$$$\hspace{ 35 pt}=\frac{3}{5}\div\left(-\frac{4}{5}\right)$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{3}{5}\times\frac{5}{4}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{3}{4}$$よって、2倍角の公式より、$$~~~~~~\sin{2\alpha}$$$$~=2\sin{\alpha}\cos{\alpha}$$値を代入すると、$$~=2\cdot\frac{3}{5}\cdot\left(-\frac{4}{5}\right)$$$$~=-\frac{24}{25}$$よって、答えは$$~~~\sin{2\alpha}=-\frac{24}{25}$$となります。

 

問題解説(2)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (2)}~\cos{2\alpha}$$

2倍角の公式より、$$~~~~~~\cos{2\alpha}$$$$~=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}$$値を代入すると、$$~=\left(-\frac{4}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$~=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}$$$$~=\frac{7}{25}$$よって、答えは$$~~~\cos{2\alpha}=\frac{7}{25}$$となります。

 

問題解説(3)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (3)}~\tan{2\alpha}$$

2倍角の公式より、$$~~~~~~\tan{2\alpha}$$$$~=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}$$値を代入すると、$$~=\frac{2\cdot\left(-{\large \frac{3}{4}}\right)}{1-\left(-{\large \frac{3}{4}}\right)^2}$$$$~=\frac{-{\large \frac{3}{2}}}{1-{\large \frac{9}{16}}}$$分母分子に \(16\) をかけると、$$~=\frac{-{\large \frac{3}{2}}\cdot16}{\left(1-{\large \frac{9}{16}}\right)\cdot16}$$$$~=\frac{-3\cdot8}{16-9}$$$$~=\frac{-24}{7}$$$$~=-\frac{24}{7}$$よって、答えは$$~~~\tan{2\alpha}=-\frac{24}{7}$$となります。
 
【別解】
相互関係の公式より、$$~~~~~~\tan{2\alpha}$$$$~=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}$$$$~=\frac{-{\large \frac{24}{25}}}{{\large \frac{7}{25}}}$$分母分子に \(25\) をかけると、$$~=\frac{-{\large \frac{24}{25}}\cdot25}{{\large \frac{7}{25}}\cdot25}$$$$~=\frac{-24}{7}$$$$~=-\frac{24}{7}$$よって、答えは$$~~~\tan{2\alpha}=-\frac{24}{7}$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の2倍角の公式は重要公式です。しっかりと覚えて使えるようになりましょう。

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