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半角の公式

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今回の問題は「半角の公式」です。

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{\frac{\alpha}{2}}$$$${\small (2)}~\cos{\frac{\alpha}{2}}$$$${\small (3)}~\tan{\frac{\alpha}{2}}$$

 

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半角の公式

Point:半角の公式

$$~{\small (1)}~\sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}~~$$$$~{\small (2)}~\cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}~~$$$$~{\small (3)}~\tan^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}~~$$

公式は \(\cos{}\) の2倍角の公式より導き出せます。
半角の公式を使うときは、先に \(\cos{\alpha}\) を求めておきましょう。
また、公式はそれぞれ2乗の値となっているので、\(\sin{{\Large \frac{\alpha}{2}}}\) の値を求めるときは平方をとるのを忘れてないようにしましょう。

 

問題解説:半角の公式

問題解説(1)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (1)}~\sin{\frac{\alpha}{2}}$$

相互関係の公式より、$$\hspace{ 10 pt}\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2$$$$\hspace{ 39 pt}=1-\frac{9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{25-9}{25}$$$$\hspace{ 39 pt}=\frac{16}{25}$$ここで、\(\alpha\) は第2象限の角より、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\alpha}=-\sqrt{\frac{16}{25}}$$$$\hspace{ 35 pt}=-\frac{4}{5}$$半角の公式より、$$~~~~~~\sin^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1-\cos{\alpha}}{2}$$$$~=\frac{1-\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{2}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{4}{5}}}{2}$$分母分子に \(5\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{2\cdot5}$$$$~=\frac{5+4}{10}$$$$~=\frac{9}{10}$$ここで、\(\alpha\) の範囲より、$$~~~\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、\(\sin{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}$$$$\hspace{ 38 pt}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$よって、答えは$$~~~\sin{\frac{\alpha}{2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$となります。

 

問題解説(2)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (2)}~\cos{\frac{\alpha}{2}}$$

半角の公式より、$$~~~~~~\cos^2{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1+\cos{\alpha}}{2}$$$$~=\frac{1+\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{2}$$$$~=\frac{1-{\large \frac{4}{5}}}{2}$$分母分子に \(5\) をかけると、$$~=\frac{\left(1-{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{2\cdot5}$$$$~=\frac{5-4}{10}$$$$~=\frac{1}{10}$$ここで、$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、\(\cos{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}\cos{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1}{10}}$$$$\hspace{ 38 pt}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$よって、答えは$$~~~\cos{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$$となります。

 

問題解説(3)

問題下の条件のとき、次の式の値を求めよ。$$~~~\sin{\alpha}=\frac{3}{5}~~~\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$$$${\small (3)}~\tan{\frac{\alpha}{2}}$$

半角の公式より、$$~~~~~~\tan{\frac{\alpha}{2}}$$$$~=\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}$$$$~=\frac{1-\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}{1+\left(-{\large \frac{4}{5}}\right)}$$$$~=\frac{1+{\large \frac{4}{5}}}{1-{\large \frac{4}{5}}}$$分母分子に \(5\) をかけると、$$~=\frac{\left(1+{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}{\left(1-{\large \frac{4}{5}}\right)\cdot5}$$$$~=\frac{5+4}{5-4}$$$$~=\frac{9}{1}$$$$~=9$$ここで、$$~~~\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2}$$これより、\(\tan{{\large \frac{\alpha}{2}}}>0\) となるので、$$\hspace{ 10 pt}\tan{\frac{\alpha}{2}}=\sqrt{9}$$$$\hspace{ 39 pt}=3$$よって、答えは$$~~~\tan{\frac{\alpha}{2}}=3$$となります。

 

今回のまとめ

半角の公式を用いる問題は、公式の形が2乗である点と角の範囲が変化する点に注意して解いていきましょう。

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