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三角関数の合成

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今回の問題は「三角関数の合成」です。

問題次の式を合成せよ。$${\small (1)}~\sin{\theta}+\sqrt{3}\cos{\theta}$$$${\small (2)}~\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}$$$${\small (3)}~\cos{\theta}-\sin{\theta}$$

 

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三角関数の合成の解法

Point:三角関数の合成\(\sin{\theta}\) と \(\cos{\theta}\) の1次式は次の公式で1つの三角関数に合成できます。

$$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\alpha)}$$

このとき、\(\alpha\) は次の図で表される角となります。\(\sin{}\) の係数値だけ右に進み、\(\cos{}\) の係数値だけ上に進むときの直線と \(x\) 軸の正の部分とのなす角を考えましょう。

この図より、

$$\cos{\alpha}=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}~,~\sin{\alpha}=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

となります。

 

問題解説:三角関数の合成

問題解説(1)

問題次の式を合成せよ。$${\small (1)}~\sin{\theta}+\sqrt{3}\cos{\theta}$$

$$~~~~~~\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{1+3}$$$$~=\sqrt{4}$$$$~=2$$これと、次の図より、

$$~~~\alpha=\frac{\pi}{3}$$となります。
よって、合成の公式を用いると、答えは$$~~~\sin{\theta}+\sqrt{3}\cos{\theta}=2\sin{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の式を合成せよ。$${\small (2)}~\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}$$

$$~~~~~~\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}$$$$~=\sqrt{3+1}$$$$~=\sqrt{4}$$$$~=2$$これと、次の図より、

$$~~~\alpha=-\frac{\pi}{6}$$となります。
よって、合成の公式を用いると、答えは$$~~~\sqrt{3}\sin{\theta}-\cos{\theta}=2\sin{\left(\theta-\frac{\pi}{6}\right)}$$となります。

 

問題解説(3)

問題次の式を合成せよ。$${\small (3)}~\cos{\theta}-\sin{\theta}$$

与式を、$$~~~-\sin{\theta}+\cos{\theta}$$と式変形しておきます。$$~~~~~~\sqrt{(-1)^2+1^2}$$$$~=\sqrt{1+1}$$$$~=\sqrt{2}$$これと、次の図より、

$$~~~\alpha=\frac{3}{4}\pi$$となります。
よって、合成の公式を用いると、答えは$$~~~\cos{\theta}-\sin{\theta}=\sqrt{2}\sin{\left(\theta+\frac{3}{4}\pi\right)}$$となります。

 

今回のまとめ

合成の公式を用いるときは、必ず座標平面上に角を表して角の値を求めましょう。また、公式を使うために \(\sin{}\) と \(\cos{}\) の順番に注意しましょう。

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