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合成を用いる方程式・不等式

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今回の問題は「合成を用いる方程式・不等式」です。

問題次の方程式・不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{3}$$$${\small (2)}~\sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{6}\cos{x}≦2$$

 

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合成を用いる方程式・不等式の解法

Point:合成を用いる方程式・不等式① 与えられた方程式・不等式を合成します。$$~~~a\sin{x}+b\cos{x}$$② 合成後の角の範囲に注意して方程式・不等式を解きます。
\(0≦x<2\pi\) とすると、\(x+\alpha\) の範囲は$$~~~\alpha≦x+\alpha<2\pi+\alpha$$となります。

 

問題解説:合成を用いる方程式・不等式

問題解説(1)

問題次の方程式・不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする。$${\small (1)}~\sin{x}+\sqrt{3}\cos{x}=\sqrt{3}$$

左辺を合成すると、$$~~~~~~\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{1+3}$$$$~=\sqrt{4}$$$$~=2$$これと、次の図より、

$$~~~\alpha=\frac{\pi}{3}$$となります。
よって、合成の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}2\sin{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}=\sqrt{3}$$両辺を \(2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\left(x+\frac{\pi}{3}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ここで、\(0≦x<2\pi\) より、$$~~~\frac{\pi}{3}≦x+\frac{\pi}{3}<2\pi+\frac{\pi}{3}$$この範囲で、 単位円と \(y={\Large \frac{\sqrt{3}}{2}}\) の交点より、

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) が2個分と4個分より、$$~~~~~~x+\frac{\pi}{3}=\frac{2}{6}\pi~,~\frac{4}{6}\pi$$よって、$$\hspace{ 10 pt}x+\frac{\pi}{3}=\frac{2}{6}\pi$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 10 pt}x=0$$また、もう1つの解は、$$\hspace{ 10 pt}x+\frac{\pi}{3}=\frac{4}{6}\pi$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{2}{3}\pi-\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{2-1}{3}\pi$$$$\hspace{ 10 pt}x=\frac{\pi}{3}$$以上より、答えは$$~~~x=0~,~\frac{\pi}{3}$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の方程式・不等式の解を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする$${\small (2)}~\sqrt{2}\sin{x}-\sqrt{6}\cos{x}≦2$$

左辺を合成すると、$$~~~~~~\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{6})^2}$$$$~=\sqrt{2+6}$$$$~=\sqrt{8}$$$$~=2\sqrt{2}$$これと、次の図より、

$$~~~\alpha=-\frac{\pi}{3}$$となります。よって合成の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}2\sqrt{2}\sin{\left( x-\frac{\pi}{3} \right)}≦2$$両辺を \(2\sqrt{2}\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\sin{\left( x-\frac{\pi}{3} \right)}≦\frac{2}{2\sqrt{2}}$$$$\hspace{ 10 pt}\sin{\left( x-\frac{\pi}{3} \right)}≦\frac{1}{\sqrt{2}}$$ここで、\(0≦x<2\pi\) より、$$~~~-\frac{\pi}{3}≦x-\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}$$この範囲で、 単位円と \(y={\Large \frac{1}{\sqrt{2}}}\) の交点より、

\({\Large \frac{\pi}{4}}\) が1個分と3個分の位置以下の範囲となるので、$$~~~~~~-\frac{\pi}{3}≦x-\frac{\pi}{3}≦\frac{\pi}{4}$$$$~~~~~~~~\frac{3}{4}\pi≦x-\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}$$それぞれ式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}≦x-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}≦\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 45 pt}0≦x≦\frac{3+4}{12}\pi$$$$\hspace{ 45 pt}0≦x≦\frac{7}{12}\pi$$また、もう1つの解は、$$\hspace{ 10 pt} \frac{3}{4}\pi+\frac{\pi}{3}≦x-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}<2\pi-\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{3}$$$$\hspace{ 15 pt}\frac{9+4}{12}\pi≦x<2\pi$$$$\hspace{ 25 pt}\frac{13}{12}\pi≦x<2\pi$$以上より、答えは$$~~~0≦x≦\frac{7}{12}\pi~,~\frac{13}{12}\pi≦x<2\pi$$となります。  

今回のまとめ

三角関数の合成を用いる方程式・不等式は、合成した後の角の範囲が変化することに注意して解を求めましょう。

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