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三角関数の最大値・最小値

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今回の問題は「三角関数の最大値・最小値」です。

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする。$${\small (1)}~y=-\cos{2x}+2\sin{x}-1$$$${\small (2)}~y=2\sin{x}+2\cos{x}$$

 

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三角関数の最大値・最小値の解法

Point:三角関数の最大値・最小値(1) \(\cos{2x}\) を含む式
2倍角の公式を用いて、1種類の三角関数の式に変形します。
統一した三角関数を文字 \(t\) を用いて置き換えます。置き換えたとき、値の範囲に注意しましょう。
置き換えた文字 \(t\) の2次関数として最大値と最小値を求めます。
 
(2) \(\sin{x}\) と \(\cos{x}\) の1次式
三角関数の合成を用いて、\(\sin{}\) だけの式に変形し、最大値と最小値を求めます。

 

問題解説:三角関数の最大値・最小値

問題解説(1)

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする。$${\small (1)}~y=-\cos{2x}+2\sin{x}-1$$

2倍角の公式より、\(\cos{2x}=1-2\sin^2{x}\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=-(1-2\sin^2{x})+2\sin{x}-1$$$$\hspace{ 18 pt}=-1+2\sin^2{x}+2\sin{x}-1$$$$\hspace{ 18 pt}=2\sin^2{x}+2\sin{x}-2$$ここで、\(\sin{x}=t\) とすると、\(0≦x<2\pi\) より、$$~~~-1≦t≦1$$となります。 これより、\(t\) で置き換えると、$$\hspace{ 10 pt}y=2t^2+2t-2~~~(-1≦t≦1)$$平方完成すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2t^2+2t-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2(t^2+t)-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2\left(t^2+t+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2\left(t^2+t+\frac{1}{4}\right)-2\cdot\frac{1}{4}-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1+4}{2}$$$$\hspace{ 18 pt}=2\left(t+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{5}{2}$$\(-1≦t≦1\) の範囲でグラフを考えると、

グラフより、\(t=1\) のとき最大値をとり、その値は\(t=1\) を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}y=2\cdot1^2+2\cdot1-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2+2-2$$$$\hspace{ 18 pt}=2$$また、\(t=\sin{x}\) より、$$~~~\sin{x}=1$$となるので、単位円より、\(0≦x<2\pi\) の範囲で \(y=1\) との交点は、

$$~~~x=\frac{\pi}{2}$$となります。
 
また、最小値は \(t=-{\Large \frac{1}{2}}\) のときで、その値は頂点の \(y\) 座標より、$$~~~y=-\frac{5}{2}$$また、\(t=\sin{x}\) より、$$~~~\sin{x}=-\frac{1}{2}$$となるので、単位円より、\(0≦x<2\pi\) の範囲で \(y=-{\Large \frac{1}{2}}\) との交点は、

\({\Large \frac{\pi}{6}}\) の7個分と11個分となるので、$$~~~x=\frac{7}{6}\pi~,~\frac{11}{6}\pi$$となります。
 
以上より、答えは、
最大値は、$$~~~~2~~~\left(x=\frac{\pi}{2}\right)$$最小値は、$$~~~-\frac{5}{2}~~~\left(x=\frac{7}{6}\pi~,~\frac{11}{6}\pi\right)$$となります。

 

問題解説(2)

問題次の関数の最大値と最小値を求めよ。ただし、\(0≦x<2\pi\) とする。$${\small (2)}~y=2\sin{x}+2\cos{x}$$

$$~~~~~~\sqrt{2^2+2^2}$$$$~=\sqrt{4+4}$$$$~=\sqrt{8}$$$$~=2\sqrt{2}$$これと次の図より、

$$~~~\alpha=\frac{\pi}{4}$$となります。
よって、合成の公式を用いると、$$\hspace{ 10 pt}y=2\sin{x}+2\cos{x}$$$$\hspace{ 18 pt}=2\sqrt{2}\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}$$ここで、\(0≦x<2\pi\) より、$$~~~\frac{\pi}{4}≦x+\frac{\pi}{4}<2\pi+\frac{\pi}{4}$$この範囲で考えると、$$~~~-1≦\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}≦1$$よって、$$~~~-2\sqrt{2}≦y≦2\sqrt{2}$$これより、$$~~~\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}=1$$のとき、最大値 \(2\sqrt{2}\) をとります。よって、単位円より

$$\hspace{ 10 pt}x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{2-1}{4}\pi$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{\pi}{4}$$次に、$$~~~\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}=-1$$のとき、最小値 \(-2\sqrt{2}\) をとります。よって、単位円より

$$\hspace{ 10 pt}x+\frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}\pi$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{3}{2}\pi-\frac{\pi}{4}$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{6-1}{4}\pi$$$$\hspace{ 31 pt}x=\frac{5}{4}\pi$$
以上より、答えは
最大値は、$$~~~~2\sqrt{2}~~~\left(x=\frac{\pi}{4}\right)$$最小値は、$$~~~-2\sqrt{2}~~~\left(x=\frac{5}{4}\pi\right)$$となります。

 

今回のまとめ

三角関数の最大値と最小値の問題は、式変形して \(t\) の2次関数として求めるパターンと三角関数の合成を用いるパターンを押さえておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅱ:三角関数
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