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三角関数の極限②

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今回の問題は「三角関数の極限②」です。

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$$${\small (2)}~\lim_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}x\cdot \sin{\frac{1}{x}}$$$${\small (4)}~\lim_{x\to \pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$$${\small (5)}~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$

 

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三角関数の極限の式変形

Point:三角関数の極限の式変形・ \(1-\cos{x}\)
\(1-\cos{x}\) などがある場合は、分母分子に \(1+\cos{x}\) をかけて、

$$~~~~~(1-\cos{x})(1+\cos{x})~~$$$$~=1-\cos^2{x}$$$$~=\sin^2{x}$$

これを用いて計算しましょう。
 
・ \(\tan{x}\)
\(\tan{x}\) が式にある場合は、

$$\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$

これを用いて計算しましょう。
 
・ \(x\to0\) 以外の極限
\(x\to0\) となっていないときは、置き換えを用いて \(t\to 0\) となるようにしましょう。
例えば、
(1) \(x\to\infty\) ならば \(t={\Large \frac{1}{x}}\) とすると、\(t\to0\)
(2) \(x\to\pi\) ならば \(t=x-\pi\) とすると、\(t\to0\)

 

問題解説:三角関数の極限②

問題解説(1)

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
分母分子に \(1+\cos{x}\) をかけると、$$~=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}\times\frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to 0}\frac{1^2-\cos^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}$$$$~=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}$$$$~=\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2\times\frac{1}{1+\cos{x}}$$ここで、\(x\to0\) のとき \({\Large \frac{\sin{x}}{x}}\to 1~,~\cos{x}\to1\) より、$$~=1^2\times\frac{1}{1+1}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

問題解説(2)

問題次の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$\(\tan{x}={\Large \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}\) より、$$~=\lim_{x\to0}\frac{{\Large \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}}{\sin{2x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{\sin{2x}}\times\frac{1}{\cos{x}}$$分子の \(\sin{x}\) には \(x\) が、分母の \(\sin{2x}\) には \(2x\) がそれぞれ必要になります。
よって、分子には \({\Large \frac{x}{x}}\) を分母には \({\Large \frac{2x}{2x}}\) をかけると、$$~=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}\times{\Large \frac{x}{x}}}{\sin{2x}\times {\Large \frac{2x}{2x}}}\times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{ {\Large \frac{\sin{x}}{x}} \times x }{ {\Large \frac{\sin{2x}}{2x}} \times 2x } \times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{ {\Large \frac{\sin{x}}{x}} }{{\Large \frac{\sin{2x}}{2x}}}\times\frac{x}{2x}\times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{{\Large \frac{\sin{x}}{x}}}{{\Large \frac{\sin{2x}}{2x}}}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\cos{x}}$$ここで、\(x\to0\) のとき \(2x\to0\) で公式と \(\cos{x}\to1\) より、$$~=\frac{1}{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{1}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは \({\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

問題解説(3)

問題次の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}x\cdot \sin{\frac{1}{x}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin{\frac{1}{x}}$$\(t={\Large \frac{1}{x}}\) とすると、\(x={\Large \frac{1}{t}}\) であり、\(x\to\infty\) のとき \(t\to0\) となります。
よって、与式は、$$~~~~~~\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\cdot\sin{t}$$$$~=\lim_{t\to0}\frac{\sin{t}}{t}$$公式を用いると、$$~=1$$よって、答えは \(1\) となります。

 

問題解説(4)

問題次の極限を求めよ。$$${\small (4)}~\lim_{x\to \pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
\(t=x-\pi\) とすると、\(x\to\pi\) のとき \(t\to0\) となります。\(x=\pi+t\) と置き換えると、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\sin{(\pi+t)}}{\pi+t-\pi}$$ここで、三角関数の公式 \(\sin{(\pi+t)}=-\sin{t}\) より、$$~=\lim_{t\to0}\frac{-\sin{t}}{t}$$公式を用いると、$$~=-1$$よって、答えは \(-1\) となります。

 

問題解説(5)

問題次の極限を求めよ。$${\small (5)}~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$このままだと、\({\Large \frac{0}{0}}\) の不定形となります。
\(t=x-{\Large \frac{\pi}{2}}\) とすると、\(x\to{\Large \frac{\pi}{2}}\) のとき \(t\to0\) となります。\(x=t+{\Large \frac{\pi}{2}}\) と置き換えると、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{ \cos{ \left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right) } } { 2 \left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right)-\pi}$$$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\cos{\left(t+{\Large \frac{\pi}{2}}\right)}}{2t+\pi-\pi}$$$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\cos{\left(t+{\Large \frac{\pi}{2}}\right)}}{2t}$$ここで、三角関数の公式 \( \cos{\left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right)}=-\sin{t} \) より、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{-\sin{t}}{2t}$$$$~=\lim_{t\to 0}\left( -\frac{1}{2}\times\frac{\sin{t}}{t}\right)$$公式を用いると、$$~=-\frac{1}{2}\times1$$$$~=-\frac{1}{2}$$よって、答えは \(-{\Large \frac{1}{2}}\) となります。

 

今回のまとめ

三角関数の極限のなかで複雑な式変形が必要な問題はその解法パターンを覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ:関数の極限
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