三角関数の極限②

2018.05.032020.06.09

三角関数の極限の式変形
問題解説：三角関数の極限②
今回のまとめ

三角関数の極限の式変形

Point：三角関数の極限の式変形・ $1-\cos{x}$
$1-\cos{x}$ などがある場合は、分母分子に $1+\cos{x}$ をかけて、

$$~~~~~(1-\cos{x})(1+\cos{x})~~$$$$~=1-\cos^2{x}$$$$~=\sin^2{x}$$

これを用いて計算しましょう。

・ $\tan{x}$
$\tan{x}$ が式にある場合は、

$$\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}$$

これを用いて計算しましょう。

・ $x\to0$ 以外の極限
$x\to0$ となっていないときは、置き換えを用いて $t\to 0$ となるようにしましょう。
例えば、
(1) $x\to\infty$ ならば $t={\Large \frac{1}{x}}$ とすると、$t\to0$
(2) $x\to\pi$ ならば $t=x-\pi$ とすると、$t\to0$

問題解説：三角関数の極限②

問題解説(1)

問題次の極限を求めよ。$${\small (1)}~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}$$このままだと、${\Large \frac{0}{0}}$ の不定形となります。
分母分子に $1+\cos{x}$ をかけると、$$~=\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}\times\frac{1+\cos{x}}{1+\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to 0}\frac{1^2-\cos^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}$$$$~=\lim_{x\to 0}\frac{\sin^2{x}}{x^2(1+\cos{x})}$$$$~=\lim_{x\to 0}\left( \frac{\sin{x}}{x} \right)^2\times\frac{1}{1+\cos{x}}$$ここで、$x\to0$ のとき ${\Large \frac{\sin{x}}{x}}\to 1~,~\cos{x}\to1$ より、$$~=1^2\times\frac{1}{1+1}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは ${\Large \frac{1}{2}}$ となります。

問題解説(2)

問題次の極限を求めよ。$${\small (2)}~\lim_{x\to 0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to0}\frac{\tan{x}}{\sin{2x}}$$$\tan{x}={\Large \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}$ より、$$~=\lim_{x\to0}\frac{{\Large \frac{\sin{x}}{\cos{x}}}}{\sin{2x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{\sin{2x}}\times\frac{1}{\cos{x}}$$分子の $\sin{x}$ には $x$ が、分母の $\sin{2x}$ には $2x$ がそれぞれ必要になります。
よって、分子には ${\Large \frac{x}{x}}$ を分母には ${\Large \frac{2x}{2x}}$ をかけると、$$~=\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}\times{\Large \frac{x}{x}}}{\sin{2x}\times {\Large \frac{2x}{2x}}}\times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{ {\Large \frac{\sin{x}}{x}} \times x }{ {\Large \frac{\sin{2x}}{2x}} \times 2x } \times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{ {\Large \frac{\sin{x}}{x}} }{{\Large \frac{\sin{2x}}{2x}}}\times\frac{x}{2x}\times\frac{1}{\cos{x}}$$$$~=\lim_{x\to0}\frac{{\Large \frac{\sin{x}}{x}}}{{\Large \frac{\sin{2x}}{2x}}}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{\cos{x}}$$ここで、$x\to0$ のとき $2x\to0$ で公式と $\cos{x}\to1$ より、$$~=\frac{1}{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{1}$$$$~=\frac{1}{2}$$よって、答えは ${\Large \frac{1}{2}}$ となります。

問題解説(3)

問題次の極限を求めよ。$${\small (3)}~\lim_{x\to\infty}x\cdot \sin{\frac{1}{x}}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin{\frac{1}{x}}$$$t={\Large \frac{1}{x}}$ とすると、$x={\Large \frac{1}{t}}$ であり、$x\to\infty$ のとき $t\to0$ となります。
よって、与式は、$$~~~~~~\lim_{t\to 0}\frac{1}{t}\cdot\sin{t}$$$$~=\lim_{t\to0}\frac{\sin{t}}{t}$$公式を用いると、$$~=1$$よって、答えは $1$ となります。

問題解説(4)

問題次の極限を求めよ。$$${\small (4)}~\lim_{x\to \pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\pi}\frac{\sin{x}}{x-\pi}$$このままだと、${\Large \frac{0}{0}}$ の不定形となります。
$t=x-\pi$ とすると、$x\to\pi$ のとき $t\to0$ となります。$x=\pi+t$ と置き換えると、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\sin{(\pi+t)}}{\pi+t-\pi}$$ここで、三角関数の公式 $\sin{(\pi+t)}=-\sin{t}$ より、$$~=\lim_{t\to0}\frac{-\sin{t}}{t}$$公式を用いると、$$~=-1$$よって、答えは $-1$ となります。

問題解説(5)

問題次の極限を求めよ。$${\small (5)}~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$

$$~~~~~~\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos{x}}{2x-\pi}$$このままだと、${\Large \frac{0}{0}}$ の不定形となります。
$t=x-{\Large \frac{\pi}{2}}$ とすると、$x\to{\Large \frac{\pi}{2}}$ のとき $t\to0$ となります。$x=t+{\Large \frac{\pi}{2}}$ と置き換えると、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{ \cos{ \left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right) } } { 2 \left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right)-\pi}$$$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\cos{\left(t+{\Large \frac{\pi}{2}}\right)}}{2t+\pi-\pi}$$$$~=\lim_{t\to 0}\frac{\cos{\left(t+{\Large \frac{\pi}{2}}\right)}}{2t}$$ここで、三角関数の公式 $ \cos{\left( t+{\Large \frac{\pi}{2}} \right)}=-\sin{t} $ より、$$~=\lim_{t\to 0}\frac{-\sin{t}}{2t}$$$$~=\lim_{t\to 0}\left( -\frac{1}{2}\times\frac{\sin{t}}{t}\right)$$公式を用いると、$$~=-\frac{1}{2}\times1$$$$~=-\frac{1}{2}$$よって、答えは $-{\Large \frac{1}{2}}$ となります。