三角関数の積分①

2018.07.092020.06.09

三角関数の積分の公式
問題解説：三角関数の積分①
今回のまとめ

三角関数の積分の公式

Point：三角関数の積分$t$ を $x$ の関数とするとき、

$$~{\small (1)}~\int \sin{t} dx=-\cos{t}\cdot\frac{1}{t’}+C~~$$$$~{\small (2)}~\int \cos{t} dx=\sin{t} \cdot\frac{1}{t’}+C~~$$$$~{\small (3)}~\int \frac{1}{\cos^2{t}} dx=\tan{t} \cdot\frac{1}{t’}+C~~$$$$~{\small (4)}~\int \frac{1}{\sin^2{t}} dx=-\frac{1}{\tan{t}} \cdot\frac{1}{t’}+C~~$$

合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。

問題解説：三角関数の積分①

問題解説(1)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int (2\sin{x}-3\cos{x})dx$$

$$~~~~~~\int (2\sin{x}-3\cos{x})dx$$$$~=2\int \sin{x}dx-3\int \cos{x}dx$$$$~=2(-\cos{x})-3\sin{x}+C$$$$~=-2\cos{x}-3\sin{x}+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ -2\cos{x}-3\sin{x}+C$$となります。

問題解説(2)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int \sin{2x} dx$$

$$~~~~~~ \int \sin{2x} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=-\cos{2x}\cdot\frac{1}{(2x)’}+C$$$$~=-\cos{2x}\cdot\frac{1}{2}+C$$$$~=-\frac{1}{2}\cos{2x}+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{2}\cos{2x}+C$$となります。

問題解説(3)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int \cos{(3x-2)} dx$$

$$~~~~~~\int \cos{(3x-2)} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\sin{(3x-2)} \cdot \frac{1}{(3x-2)’} +C$$$$~=\sin{(3x-2)} \cdot \frac{1}{3} +C$$$$~=\frac{1}{3}\sin{(3x-2)}+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{3}\sin{(3x-2)}+C$$となります。

問題解説(4)

問題次の不定積分を求めよ。$${\small (4)}~\int \left( \frac{1}{\sin^2{2x}}+\frac{1}{\cos^2{3x}} \right) dx$$

$$~~~~~~ \int \left( \frac{1}{\sin^2{2x}}+\frac{1}{\cos^2{3x}} \right) dx$$$$~= \int \frac{1}{\sin^2{2x}}dx+\int\frac{1}{\cos^2{3x}} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=-\frac{1}{\tan{2x}}\cdot\frac{1}{(2x)’}+\tan{3x}\cdot\frac{1}{(3x)’}+C$$$$~=-\frac{1}{2\tan{2x}}+\frac{\tan{3x}}{3}+C$$よって、答えは $C$ を積分定数として、$$~~~ -\frac{1}{2\tan{2x}}+\frac{\tan{3x}}{3}+C$$となります。