指数関数の積分の解法
Point：指数関数の積分\(t\) を \(x\) の関数、\(a\) を定数とするとき、
$$~{\small (1)}~\int e^t dx=e^t\cdot\frac{1}{t’}+C~~$$$$~{\small (2)}~\int a^t dx=\frac{a^t}{\log a}\cdot\frac{1}{t’}+C~~$$
\(C\) は積分定数となります。
合成関数の微分の逆数をかけるのを忘れないようにしましょう。
問題解説：指数関数の積分
問題解説(1)
問題次の不定積分を求めよ。$${\small (1)}~\int(2e^x-3)dx$$
$$~~~~~~ \int(2e^x-3)dx$$$$~=2\int e^x dx-3\int dx$$$$~=2e^x-3x+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ 2e^x-3x+C $$となります。
問題解説(2)
問題次の不定積分を求めよ。$${\small (2)}~\int e^{2x} dx$$
$$~~~~~~\int e^{2x} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=e^{2x}\cdot\frac{1}{(2x)’}+C$$$$~=\frac{1}{2}e^{2x}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{1}{2}e^{2x}+C $$となります。
問題解説(3)
問題次の不定積分を求めよ。$${\small (3)}~\int (5^x-3^x) dx$$
$$~~~~~~ \int (5^x-3^x) dx$$$$~= \int 5^xdx-\int 3^x dx$$$$~=\frac{5^x}{\log 5}-\frac{3^x}{\log 3}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{5^x}{\log 5}-\frac{3^x}{\log 3}+C $$となります。
問題解説(4)
問題次の不定積分を求めよ。$${\small (4)}~\int 5^{2x} dx$$
$$~~~~~~ \int 5^{2x} dx$$合成関数の微分の逆数をかけて、$$~=\frac{5^{2x}}{\log 5}\cdot\frac{1}{(2x)’}+C$$$$~=\frac{5^{2x}}{2\log 5}+C$$よって、答えは \(C\) を積分定数として、$$~~~ \frac{5^{2x}}{2\log 5}+C $$となります。
今回のまとめ
指数関数の積分も底の違いによる公式の違いと、合成関数の積分に注意して計算していきましょう。
【問題一覧】数学Ⅲ：積分法
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