円と楕円の関係の解法
\(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \({\large \frac{\,b\,}{\,a\,}}\) 倍縮小した曲線は楕円となり、
① 円上の点を \({\rm P}(s~,~t)\) とすると、$$~~~s^2+t^2=a^2$$② 点 \({\rm P}\) と \(x\) 座標が同じで楕円上の点 \({\rm Q}\) を \({\rm Q}(x~,~y)\) とする。
③ \(y\) 軸方向に \({\large \frac{\,b\,}{\,a\,}}\) 倍に縮小しているので、
$$~~~x=s~,~y=\frac{\,b\,}{\,a\,}t$$$$~~~~~~\Leftrightarrow~~s=x~,~t=\frac{\,a \,}{\,b \,}y$$④ \(s~,~t\) を①の式に代入すると、$$~~~x^2+\frac{\,a^2 \,}{\, b^2\,}y^2=a^2$$両辺を \(a^2\) で割って、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\, b^2\,}=1$$これが楕円の方程式となる。
問題解説：円と楕円の関係
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)円 \(x^2+y^2=16\) を \(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \({\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\) 倍縮小した曲線を求めよ。
円 \(x^2+y^2=16\) 上の点 \({\rm P}\) を \({\rm P}(s~,~t)\) とすると、$$~~~s^2+t^2=16~~~\cdots~{\large ①}$$求める楕円上の点で点 \({\rm P}\) と \(x\) 座標が同じ点 \({\rm Q}\) を \({\rm Q}(x~,~y)\) とすると、
\(x\) 座標は同じであるので、\(x=s\)
\(y\) 座標は \({\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}\) 倍縮小しているので、\(y={\large \frac{\,3\,}{\,4\,}}t\)
それぞれ \(s~,~t\) について、式変形すると、$$~~~s=x~,~t=\frac{\, 4\,}{\,3 \,}y$$これを、①に代入すると、$$~~~x^2+\left(\frac{\,4 \,}{\,3 \,}y\right)^2=16$$$$~~~~~~x^2+\frac{\, 16\,}{\,9 \,}y^2=16$$両辺を \(\div16\) すると、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,16 \,}+\frac{\,16y^2 \,}{\,9\cdot16 \,}=\frac{\,16 \,}{\,16 \,}$$したがって、楕円の方程式は、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,16 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\, 9\,}=1$$となる。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)円 \(x^2+y^2=1\) を \(x\) 軸をもとに \(y\) 軸方向に \(2\) 倍拡大した曲線を求めよ。
円 \(x^2+y^2=1\) 上の点 \({\rm P}\) を \({\rm P}(s~,~t)\) とすると、$$~~~s^2+t^2=1~~~\cdots~{\large ①}$$求める楕円上の点で点 \({\rm P}\) と \(x\) 座標が同じ点 \({\rm Q}\) を \({\rm Q}(x~,~y)\) とすると、
\(x\) 座標は同じであるので、\(x=s\)
\(y\) 座標は \(2\) 倍拡大しているので、\(y=2t\)
それぞれ \(s~,~t\) について、式変形すると、$$~~~s=x~,~t=\frac{\, 1\,}{\,2 \,}y$$これを、①に代入すると、$$~~~x^2+\left(\frac{\,1 \,}{\,2 \,}y\right)^2=1$$$$~~~~~~~~~\,x^2+\frac{\, y^2\,}{\,4 \,}=1$$したがって、楕円の方程式は、$$~~~x^2+\frac{\,y^2 \,}{\, 4\,}=1$$となる。
今回のまとめ
円から楕円の方程式を求める解法を解説しました。\(x\) 座標が同じである２点の座標の関係式から楕円の方程式を求めましょう。
