２次曲線と直線の共有点の個数

2020.10.01

２次曲線と直線の共有点の個数の解法
問題解説：２次曲線と直線の共有点の個数
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

２次曲線と直線の共有点の個数の解法

Point：２次曲線と直線の共有点の個数２次曲線 $f(x~,~y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ について、
$f(x~,~y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ を連立して、１文字消去した方程式が２次方程式となるとき、この２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、
(1) ${\rm D}\gt0$ のとき
$~~~\Leftrightarrow~$ 共有点２つ（２点で交わる）
(2) ${\rm D}=0$ のとき
$~~~\Leftrightarrow~$ 共有点１つ（接する）
(3) ${\rm D}\lt0$ のとき
$~~~\Leftrightarrow~$ 共有点をもたない
これより、それぞれの場合での定数 $k$ の範囲を求める。

問題解説：２次曲線と直線の共有点の個数

問題解説(1)

問題次の２次曲線と直線の共有点の個数を答えよ。$${\small (1)}~9x^2-y^2=9~,~y=kx$$

$y=kx$ を $9x^2-y^2=9$ に代入すると、$$~~~9x^2-(kx)^2=9$$$$~~~\,9x^2-k^2x^2=9$$$x^2$ でくくると、$$~~~(9-k^2)x^2=9~~~\cdots~{\large ①}$$この方程式が２次方程式となる条件を考え、$x^2$ の係数で場合分けすると、
(ⅰ) $9-k^2\gt0$ のとき、
すなわち、$$~~~k^2-9\lt0$$左辺を因数分解すると、$$~~~(k+3)(k-3)\lt0$$よって、$-3\lt k\lt3$ のとき、①は、$$~~~x=\pm\sqrt{\frac{\,9 \,}{\,9-k^2 \,}}$$とできるので、異なる２つの実数解をもつ。
よって、共有点が２個となる。

(ⅱ) $9-k^2=0$ のとき、
すなわち、$$~~~9-k^2=0$$$-1$ をかけて因数分解すると、$$~~~(k+3)(k-3)=0$$よって、$k=\pm3$ のとき、①は、$$~~~0\cdot x^2=9$$となり、これを満たす解 $x$ は存在しない。
よって、共有点なし。

(ⅲ) $9-k^2\lt0$ のとき、
すなわち$$~~~k^2-9\gt0$$左辺を因数分解すると、$$~~~(k+3)(k-3)\gt0$$よって、$k\lt-3~,~3\lt k$ のとき、$$~~~x^2=\frac{\,9 \,}{\,9-k^2 \,}\lt 0$$となり虚数解をもつので、実数解をもたない。
よって、共有点なし。

したがって、(ⅰ)〜(ⅲ)より、
$-3\lt k \lt 3$ のとき、共有点２個
$k≦ -3~,~3≦ k$ のとき、共有点なし
となる。

問題解説(2)

問題次の２次曲線と直線の共有点の個数を答えよ。$${\small (2)}~2x^2+3y^2=6~,~y=x+k$$

$y=x+k$ を $2x^2+3y^2=6$ に代入すると、$$~~~2x^2+3(x+k)^2=6$$展開して、移項すると、$$~~~~~~~~~2x^2+3(x^2+2kx+k^2)=6$$$$~~~2x^2+3x^2+6kx+3k^2-6=0$$$$\hspace{31pt} 5x^2+6kx+3k^3-6=0$$この２次方程式の判別式を ${\rm D}$ とすると、$$~~~{\rm D}=(6k)^2-4\cdot5\cdot(3k^2-6)$$$$~~~~~\,=36k^2-60k^2+120$$$$~~~~~\,=-24k^2+120$$$$~~~~~\,=-24(k^2-5)$$因数分解すると、$$~~~~~\,=-24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)~~~\cdots~{\large ①}$$
(ⅰ) ${\rm D}\gt0$ のとき、すなわち①より、$$~~~-24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)\gt0$$両辺を $\times(-1)$ すると、$$~~~24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)\lt0$$よって、$-\sqrt{5}\lt k \lt\sqrt{5}$ のとき、共有点２個。

(ⅱ) ${\rm D}=0$ のとき、すなわち①より、$$~~~-24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)=0$$よって、$k=\pm\sqrt{5}$ のとき、共有点１個。

(ⅲ) ${\rm D}\lt0$ のとき、すなわち①より、$$~~~-24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)\lt0$$両辺を $\times(-1)$ すると、$$~~~24\left(k+\sqrt{5}\right)\left(k-\sqrt{5}\right)\gt0$$よって、$k\lt-\sqrt{5}~,~ \sqrt{5}\lt k$ のとき、共有点なし。

したがって、
$-\sqrt{5}\lt k \lt\sqrt{5}$ のとき、共有点２個
$k=\pm\sqrt{5}$ のとき、共有点１個
$k\lt-\sqrt{5}~,~ \sqrt{5}\lt k$ のとき、共有点なし
となる。