２次曲線と接線

2020.10.02

２次曲線と接線の解法
問題解説：２次曲線と接線
今回のまとめ

２次曲線と接線の解法

Point：２次曲線と接線曲線上の点 $(s~,~t)$ における接線の方程式は、
(1) 放物線
$(p\neq0)$ より、放物線の方程式 $y^2=4px$ の接線の方程式は、

$$ty=2p(x+s)$$

(2) 楕円
$a\gt0~,~b\gt0$ より、楕円の方程式$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1$$の接線の方程式は、

$$\frac{\,sx \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,ty\,}{\,b^2 \,}=1$$

(3) 双曲線
$a\gt0~,~b\gt0$ より、双曲線の方程式$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=1$$の接線の方程式は、

$$\frac{\,sx \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,ty\,}{\,b^2 \,}=1$$

また、双曲線の方程式$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,b^2 \,}=-1$$の接線の方程式は、

$$\frac{\,sx \,}{\,a^2 \,}-\frac{\,ty\,}{\,b^2 \,}=-1$$

問題解説：２次曲線と接線

問題解説(1)

問題次の２次曲線の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。$${\small (1)}~y^2=12x~,~(3~,~6)$$

$y^2=12x$ より、$$~~~y^2=4\cdot3x$$となり、$p=3$ となる。
よって、$(3~,~6)$ における接線の方程式は、$$~~~6y=2\cdot3(x+3)$$$$~~~6y=6(x+3)$$両辺を $\div6$ すると、$$~~~y=x+3$$したがって、接線の方程式は $y=x+3$ となる。

問題解説(2)

問題次の２次曲線の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。$${\small (2)}~3x^2+y^2=12~,~(-1~,~3)$$

$3x^2+y^2=12$ の両辺を $\div12$ すると、$$~~~\frac{\,3x^2 \,}{\,12 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\,12 \,}=\frac{\,12 \,}{\,12 \,}$$$$~~~~\,\frac{\,x^2 \,}{\,4 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\,12 \,}=1$$よって、$(-1~,~3)$ における接線の方程式は、$$~~~\frac{\,-1\cdot x \,}{\,4 \,}+\frac{\,3\cdot y \,}{\,12 \,}=1$$$$~~~~~~~~~~~-\frac{\,x\,}{\,4 \,}+\frac{\,y \,}{\,4 \,}=1$$両辺を $\times(-4)$ すると、$$~~~-\frac{\,x\,}{\,4 \,}\times(-4)+\frac{\,y \,}{\,4 \,}\times(-4)=-4$$計算すると、$$~~~x-y=-4$$したがって、接線の方程式は $x-y=-4$ となる。

問題解説(3)

問題次の２次曲線の曲線上の点における接線の方程式を求めよ。$${\small (3)}~4x^2-y^2=4~,~\left(\sqrt{2}~,~-2\right)$$

$4x^2-y^2=4$ の両辺を $\div4$ すると、$$~~~\frac{\,4x^2 \,}{\,4 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,4 \,}=\frac{\,4 \,}{\,4 \,}$$$$~~~~~~~\,x^2-\frac{\,y^2 \,}{\,4 \,}=1$$よって、$\left(\sqrt{2}~,~-2\right)$ における接線の方程式は、$$~~~\sqrt{2}x-\frac{\,-2\cdot y \,}{\,4 \,}=1$$$$~~~~~~~~~~\,\sqrt{2}x+\frac{\,y \,}{\,2 \,}=1$$両辺を $\times2$ すると、$$~~~\sqrt{2}x\times2+\frac{\,y \,}{\,2 \,}\times2=2$$計算すると、$$~~~2\sqrt{2}x+y=2$$したがって、接線の方程式は $2\sqrt{2}x+y=2$ となる。