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外部の点から引いた2次曲線の接線

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外部の点から引いた2次曲線の接線の解法

Point:外部の点から引いた2次曲線の接線楕円 \({\large \frac{\,x^2\,}{\,a^2\,}}+{\large \frac{\,y^2\,}{\,b^2\,}}=1\) に外部の点 \((m~,~n)\) から引いた接線の方程式は、
接点の座標を \((s~,~t)\) とすると、楕円上の点であるので、$$~~~\frac{\,s^2 \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,t^2 \,}{\,b^2 \,}=1$$② 接点 \((s~,~t)\) における接線の方程式は、$$~~~\frac{\,sx \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,ty \,}{\,b^2 \,}=1$$\((m~,~n)\) を通るので、$$~~~\frac{\,sm \,}{\,a^2 \,}+\frac{\,tn \,}{\,b^2 \,}=1$$③ ①と②の式を連立して、\((s~,~t)\) を求める。
④ \((s~,~t)\) を用いて、接線の方程式を求める。

 

問題解説:外部の点から引いた2次曲線の接線

問題次の楕円に点 \((-1~,~8)\) から引いた接線の方程式を求めよ。$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,6 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\,12 \,}=1$$

接点の座標を \((s~,~t)\) とすると、楕円上の点であるので、$$~~~\frac{\,s^2 \,}{\,6 \,}+\frac{\,t^2 \,}{\,12 \,}=1$$両辺を \(\times12\) すると、$$~~~\frac{\,s^2 \,}{\,6 \,}\times12+\frac{\,t^2 \,}{\,12 \,}\times12=12$$よって、$$~~~2s^2+t^2=12~~~\cdots~{\large ①}$$
また、接線の方程式は公式より、$$~~~\frac{\,sx \,}{\,6 \,}+\frac{\,ty \,}{\,12 \,}=1$$両辺を \(\times12\) すると、$$~~~\frac{\,sx \,}{\,6 \,}\times12+\frac{\,ty \,}{\,12 \,}\times12=12$$よって、$$~~~2sx+ty=12~~~\cdots~{\large ②}$$この接線の方程式は、\((-1~,~8)\) を通るので、$$~~~~2s\cdot(-1)+t\cdot8=12$$$$\hspace{33pt} -2s+8t=12$$両辺を \(\div(-2)\) すると、$$~~~\frac{\,-2s \,}{\,-2 \,}+\frac{\,8t \,}{\,-2 \,}=\frac{\,12 \,}{\,-2 \,}$$$$\hspace{34pt} s-4t=-6$$移項すると、$$~~~s=4t-6~~~\cdots~{\large ③}$$これを①に代入すると、$$~~~2(4t-6)^2+t^2=12$$展開して、移項すると、$$~~~2(16t^2-48t+36)+t^2-12=0$$$$~~~~~~~\,32t^2-96t+72+t^2-12=0$$$$\hspace{54pt} 33t^2-96t+60=0$$\(3\) でくくると、$$~~~3(11t^2-32t+20)=0$$因数分解すると、$$~~~3(t-2)(11t-10)=0$$よって、$$~~~t=2~,~\frac{\,10 \,}{\,11 \,}$$それぞれを③に代入すると、$$~~~s=4\cdot2-6=8-6=2$$$$~~~s=4\cdot\frac{\,10 \,}{\,11 \,}-6$$$$~~~~~=\frac{\,40-66 \,}{\,11 \,}=-\frac{\,26 \,}{\,11 \,}$$よって、接点が$$~~~(2~,~2)~,~\left(-\frac{\,26 \,}{\,11 \,}~,~\frac{\,10 \,}{\,11 \,}\right)$$となる。
 
これをそれぞれ②に代入すると、
\((s~,~t)=(2~,~2)\) より、$$~~~2\cdot2\cdot x+2\cdot y=12$$$$\hspace{33pt} 4x+2y=12$$両辺を \(\div2\) すると、$$~~~2x+y=6$$
\((s~,~t)=\left(-{\large \frac{\,26\,}{\,11\,}}~,~{\large \frac{\,10\,}{\,11\,}}\right)\) より、$$~~~2\cdot\left(-\frac{\,26 \,}{\,11 \,}\right)\cdot x+\frac{\,10 \,}{\,11 \,}\cdot y=12$$$$\hspace{45pt} -\frac{\,52 \,}{\,11\,}x+\frac{\,10 \,}{\,11 \,}y=12$$両辺を \(\times11\) すると、$$~~~-52x+10y=132$$両辺を \(\div(-2)\) すると、$$~~~26x-5y=-66$$
したがって、接線の方程式は、$$~~~2x+y=6~,~26x-5y=-66$$となる。

 

今回のまとめ

外部の点から2次曲線に引いた接線の方程式を求めるときは、接点の座標を文字で置くところから始めます。手順が多いですが、しっかりと覚えておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ|2次曲線
このページは「高校数学Ⅲ:2次曲線」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは...