曲線の媒介変数表示

2020.10.03

曲線の媒介変数表示の解法
問題解説：曲線の媒介変数表示
今回のまとめ

曲線の媒介変数表示の解法

Point：曲線の媒介変数表示■ 放物線の媒介変数表示
放物線 $y^2=4px$

$$\left\{ \begin{array}{l} x=pt^2 \\ y=2pt \end{array}\right.$$

媒介変数 $t$ を消去すると、もとの放物線の方程式となる。

■ 円の媒介変数表示
円 $x^2+y^2=r^2$

$$\left\{ \begin{array}{l} x=r\cos{\theta} \\ y=r\sin{\theta} \end{array}\right.$$

媒介変数 $\theta$ を消去するときは、$$~~~\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$に代入する。

■ 楕円の媒介変数表示
楕円 ${\large \frac{x^2}{a^2}}+{\large \frac{y^2}{b^2}}=1$

$$\left\{ \begin{array}{l} x=a\cos{\theta} \\ y=b\sin{\theta} \end{array}\right.$$

媒介変数 $\theta$ を消去するときは、$$~~~\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$に代入する。

■ 双曲線の媒介変数表示
双曲線 ${\large \frac{x^2}{a^2}}-{\large \frac{y^2}{b^2}}=1$

$$\left\{ \begin{array}{l} x={\large \frac{\,a \,}{\,\cos{\theta} \,}} \\ y=b\tan{\theta} \end{array}\right.$$

媒介変数 $\theta$ を消去するときは、$$~~~1+\tan^2{\theta}=\frac{\,1 \,}{\,\cos^2{\theta} \,}$$に代入する。

問題解説：曲線の媒介変数表示

問題解説(1)

問題次の媒介変数表示はどのような曲線となるか答えよ。$${\small (1)}~\left\{ \begin{array}{l} x=2t^2 \\ y=4t \end{array}\right.$$

$y=4t$ より、$$~~~4t=y$$$$~~~~~t=\frac{\,y \,}{\, 4\,}$$これを、$x=2t^2$ に代入すると、$$~~~x=2\left(\frac{\,y \,}{\,4 \,}\right)^2$$$$~~~~~=2\cdot\frac{\,y^2 \,}{\,16 \,}$$$$~~~~~=\frac{\,y^2 \,}{\,8 \,}$$両辺を $\times8$ すると、$$~~~8x=y^2$$したがって、放物線 $y^2=8x$ となる。

問題解説(2)

問題次の媒介変数表示はどのような曲線となるか答えよ。$${\small (2)}~\left\{ \begin{array}{l} x=3\cos{\theta}+1 \\ y=3\sin{\theta} \end{array}\right.$$

$x=3\cos{\theta}+1$ より、$$~~~3\cos{\theta}+1=x$$$$\hspace{22pt} 3\cos{\theta}=x-1$$$$\hspace{28pt} \cos{\theta}=\frac{\,x-1 \,}{\,3 \,}$$$y=3\sin{\theta}$ より、$$~~~3\sin{\theta}=y$$$$\hspace{13pt} \sin{\theta}=\frac{\,y \,}{\,3 \,}$$これらを $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ に代入すると、$$~~~\left(\frac{\,y \,}{\,3 \,}\right)^2+\left(\frac{\,x-1 \,}{\,3 \,}\right)^2=1$$計算し、順番を入れ換えると、$$~~~ \frac{\,(x-1)^2 \,}{\,9 \,}+\frac{\,y^2 \,}{\, 9\,}=1$$両辺を $\times9$ すると、$$~~~(x-1)^2+y^2=9$$したがって、
円 $(x-1)^2+y^2=9$ となる。

問題解説(3)

問題次の媒介変数表示はどのような曲線となるか答えよ。$${\small (3)}~\left\{ \begin{array}{l} x=4\cos{\theta}-3 \\ y=3\sin{\theta}+2 \end{array}\right.$$

$x=4\cos{\theta}-3$ より、$$~~~4\cos{\theta}-3=x$$$$\hspace{22pt} 4\cos{\theta}=x+3$$$$\hspace{28pt} \cos{\theta}=\frac{\,x+3\,}{\,4 \,}$$$y=3\sin{\theta}+2$ より、$$~~~3\sin{\theta}+2=y$$$$\hspace{21pt} 3\sin{\theta}=y-2$$$$\hspace{26pt} \sin{\theta}=\frac{\,y-2 \,}{\,3 \,}$$これらを $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ に代入すると、$$~~~\left(\frac{\,y-2 \,}{\,3 \,}\right)^2+\left(\frac{\,x+3 \,}{\,4 \,}\right)^2=1$$計算し、順番を入れ換えると、$$~~~\frac{\,(x+3)^2 \,}{\,16 \,}+\frac{\,(y-2)^2 \,}{\, 9\,}=1$$したがって、
楕円 ${\large \frac{\,(x+3)^2\,}{\,16\,}}+{\large \frac{\,(y-2)^2\,}{\,9\,}}=1$ となる。

問題解説(4)

問題次の媒介変数表示はどのような曲線となるか答えよ。$${\small (4)}~\left\{ \begin{array}{l} x={\large \frac{\,3 \,}{\,\cos{\theta} \,}} \\ y=2\tan{\theta} \end{array}\right.$$

$x={\large \frac{\,3\,}{\,\cos{\theta}\,}}$ より、$$~~~\frac{\,3 \,}{\,\cos{\theta} \,}=x$$$$~~~\frac{\,1 \,}{\,\cos{\theta} \,}=\frac{\,x \,}{\,3 \,}$$$y=2\tan{\theta}$ より、$$~~~2\tan{\theta}=y$$$$~~~~\,\tan{\theta}=\frac{\,y \,}{\,2 \,}$$これらを ${\large \frac{\,1\,}{\,\cos^2{\theta}\,}}=1+\tan^2{\theta}$ に代入すると、$$~~~\left(\frac{\,x \,}{\,3 \,}\right)^2=1+\left(\frac{\,y \,}{\,2 \,}\right)^2$$$$\hspace{16pt} \frac{\,x^2 \,}{\,9 \,}=1+\frac{\,y^2 \,}{\,4 \,}$$移項すると、$$~~~\frac{\,x^2 \,}{\,9 \,}-\frac{\,y^2 \,}{\,4 \,}=1$$したがって、
双曲線 ${\large \frac{\,x^2\,}{\,9\,}}-{\large \frac{\,y^2\,}{\,4\,}}=1$ となる。