極方程式と直交座標

2020.10.04

極方程式と直交座標の解法
問題解説：極方程式と直交座標
今回のまとめ

極方程式と直交座標の解法

Point：極方程式と直交座標直交座標で表された曲線の方程式を極方程式にする解法の手順は、
① $x=r\cos{\theta}~,~y=r\sin{\theta}$ を代入して、$r$ と $\theta$ だけの式にする。
② 三角関数の相互関係の公式 $\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ などを用いて、式を整理する。

問題解説：極方程式と直交座標

問題解説(1)

問題次の直交座標で表された曲線の方程式を極方程式にせよ。$${\small (1)}~x^2+y^2=25$$

$x=r\cos{\theta}~,~y=r\sin{\theta}$ を代入すると、$$~~~(r\cos{\theta})^2+(r\sin{\theta})^2=25$$$$~~~~~r^2\sin^2{\theta}+r^2\cos^2{\theta}=25$$$r^2$ でくくると、$$~~~r^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})=25$$ここで、$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ より、$$~~~r^2=25$$$$~~~~r=5$$したがって、極方程式は $r=5$ となる。

問題解説(2)

問題次の直交座標で表された曲線の方程式を極方程式にせよ。$${\small (2)}~y^2=12x$$

$x=r\cos{\theta}~,~y=r\sin{\theta}$ を代入すると、$$~~~(r\sin{\theta})^2=12(r\cos{\theta})$$$$~~~~r^2\sin^2{\theta}=12r\cos{\theta}$$両辺を $\div r\sin^2{\theta}$ すると、$$~~~\frac{\, r^2\sin^2{\theta}\,}{\, r\sin^2{\theta}\,}=\frac{\,12r\cos{\theta} \,}{\, r\sin^2{\theta}\,}$$$$\hspace{39pt} r=\frac{\,12\cos{\theta} \,}{\, \sin^2{\theta}\,}$$したがって、極方程式は $r={\large \frac{\,12\cos{\theta}\,}{\,\sin^2{\theta}\,}}$ となる。

問題解説(3)

問題次の直交座標で表された曲線の方程式を極方程式にせよ。$${\small (3)}~3x^2+2y^2=6$$

$x=r\cos{\theta}~,~y=r\sin{\theta}$ を代入すると、$$~~~3(r\cos{\theta})^2+2(r\sin{\theta})^2=6$$$$~~~~\,3r^2\cos^2{\theta}+2r^2\sin^2{\theta}=6$$$$~~~~~r^2(3\cos^2{\theta}+2\sin^2{\theta})=6$$$\cos^2{\theta}=1-\sin^2{\theta}$ より、$$~~~r^2(3-3\sin^2{\theta}+2\sin^2{\theta})=6$$$$\hspace{51pt} r^2(3-\sin^2{\theta})=6$$したがって、極方程式は $r^2(3-\sin^2{\theta})=6$ となる。

【別解】
（上の解答の途中より、）$$~~~r^2(3\cos^2{\theta}+2\sin^2{\theta})=6$$$\sin^2{\theta}=1-\cos^2{\theta}$ より、$$~~~r^2(3\cos^2{\theta}+2-2\cos^2{\theta})=6$$$$\hspace{51pt} r^2(\cos^2{\theta}+2)=6$$したがって、極方程式は $r^2(\cos^2{\theta}+2)=6$ となる。

問題解説(4)

問題次の直交座標で表された曲線の方程式を極方程式にせよ。$${\small (4)}~(x+1)^2+y^2=1$$

$x=r\cos{\theta}~,~y=r\sin{\theta}$ を代入すると、$$~~~(r\cos{\theta}+1)^2+(r\sin{\theta})^2=1$$展開すると、$$~~~r^2\cos^2{\theta}+2r\cos{\theta}+1+r^2\sin^2{\theta}=1$$整理すると、$$~~~r^2(\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta})+2r\cos{\theta}=0$$ここで、$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$ より、$$~~~~r^2+2r\cos{\theta}=0$$$$~~~r(r+2\cos{\theta})=0$$よって、$$~~~r=0~,~-2\cos{\theta}$$ここで、$r=-2\cos{\theta}$ は $\theta={\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}$ などのとき、$r=0$ となる。よって、$r=-2\cos{\theta}$ は $r=0$ を含む。

したがって、極方程式は $r=-2\cos{\theta}$ となる。