極形式の積と商

極形式の積と商の解法
問題解説：極形式の積と商
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

極形式の積と商の解法

Point：極形式の積と商２つの複素数$$~~~z_1=r_1\left(\cos{\theta_1}+i\sin{\theta_1}\right)$$$$~~~z_2=r_2\left(\cos{\theta_2}+i\sin{\theta_2}\right)$$について、

■ 積 $z_1z_2$
絶対値はそれぞれの積より、$$~~~|z_1z_2|=|z_1||z_2|=r_1r_2$$偏角はそれぞれの和より、$$~~~~~\arg(z_1z_2)$$$$~=\arg z_1+\arg z_2=\theta_1+\theta_2$$したがって、積の極形式は、

$$~~~~z_1z_2$$$$=r_1r_2\left\{\cos{(\theta_1+\theta_2)}+i\sin{(\theta_1+\theta_2)}\right\}$$

■ 商 ${\Large \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}}$
絶対値はそれぞれの商より、$$~~~\left| \frac{\,z_1\,}{\,z_2\,}\right|=\frac{\,|z_1| \,}{\,|z_2| \,}=\frac{\,r_1 \,}{\,r_2 \,}$$偏角はそれぞれの差より、$$~~~~~\arg \left(\frac{\,z_1 \,}{\,z_2 \,}\right)$$$$~=\arg z_1-\arg z_2=\theta_1-\theta_2$$したがって、商の極形式は、

$$~~~~\frac{\,z_1\,}{\,z_2 \,}$$$$=\frac{\,r_1 \,}{\,r_2 \,}\left\{\cos{(\theta_1-\theta_2)}+i\sin{(\theta_1-\theta_2)}\right\}$$

問題解説：極形式の積と商

問題解説(1)

問題$\alpha=-1+\sqrt{3}i~,~\beta=2-2i$ のとき、次の式を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $0≦\theta\lt2\pi$ とする。$${\small (1)}~\alpha\beta$$

$\alpha=-1+\sqrt{3}i$ について、
絶対値は、$$~~~~~~|\alpha|$$$$~=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{3})^2}$$$$~=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2$$また、$\alpha$ を複素数平面上に表すと、

図より、偏角 $\theta_1$ は、$$~~~\theta_1=\frac{\,2 \,}{\,3 \,}\pi$$よって、$\alpha$ の極形式は、$$~~~\alpha=2\left(\cos{\frac{\,2 \,}{\,3 \,}\pi}+i\sin{\frac{\,2 \,}{\,3 \,}\pi}\right)~~~\cdots~{\large ①}$$
$\beta=2-2i$ について、
絶対値は、$$~~~~~~|\beta|$$$$~=\sqrt{2^2+(-2)^2}$$$$~=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$また、$\beta$ を複素数平面上に表すと、

図より、偏角 $\theta_2$ は、$$~~~\theta_2=\frac{\,7 \,}{\,4 \,}\pi$$よって、$\beta$ の極形式は、$$~~~\beta=2\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\,7 \,}{\,4 \,}\pi}+i\sin{\frac{\,7 \,}{\,4 \,}\pi}\right)~~~\cdots~{\large ②}$$
積 $\alpha\beta$ について、
絶対値は、$$~~~~~~|\alpha\beta|$$$$~=|\alpha||\beta|$$$$~=2\times2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$$また、偏角は、$$~~~~~~\arg (\alpha\beta)$$$$~=\arg \alpha +\arg \beta$$$$~=\frac{\,2 \,}{\,3 \,}\pi+\frac{\,7 \,}{\,4 \,}\pi$$$$~=\frac{\,8+21 \,}{\,12 \,}\pi$$$$~=\frac{\,29 \,}{\,12 \,}\pi$$ここで、偏角 $\theta$ は $0≦\theta\lt2\pi$ であるので、$$~~~\frac{\,29 \,}{\,12 \,}\pi=2\pi+\frac{\,5 \,}{\,12 \,}\pi$$これより、偏角は、$$~~~\arg (\alpha\beta)=\frac{\,5 \,}{\,12 \,}\pi$$したがって、極形式は、$$~~~\alpha\beta=4\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\,5 \,}{\,12 \,}\pi}+i\sin{\frac{\,5 \,}{\,12 \,}\pi}\right)$$となる。

【別解】
$\beta$ の極形式を求めるとき、偏角を $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}$ と考えてもよい。よって、極形式は、$$~~~\beta=2\sqrt{2}\left\{ \cos{\left(-\frac{\,\pi \,}{\,4 \,}\right)}+i\sin{\left(-\frac{\,\pi \,}{\,4 \,}\right)}\right\}$$

問題解説(2)

問題$\alpha=-1+\sqrt{3}i~,~\beta=2-2i$ のとき、次の式を極形式で表せ。ただし、偏角 $\theta$ は $0≦\theta\lt2\pi$ とする。$${\small (2)}~\frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}$$

(1) の①と②より、${\large \frac{\,\alpha\,}{\,\beta\,}}$ について、
絶対値は、$$~~~~~~\left|\frac{\,\alpha \,}{\,\beta \,}\right|$$$$~=\frac{\,|\alpha| \,}{\,|\beta| \,}$$$$~=\frac{\,2 \,}{\,2\sqrt{2} \,}=\frac{\, 1\,}{\,\sqrt{2} \,}=\frac{\,\sqrt{2} \,}{\,2 \,}$$また、偏角は、$$~~~~~~\arg \left(\frac{\,\alpha \,}{\,\beta \,}\right)$$$$~=\arg \alpha -\arg \beta$$$$~=\frac{\,2 \,}{\,3 \,}\pi-\frac{\,7 \,}{\,4 \,}\pi$$$$~=\frac{\,8-21 \,}{\,12 \,}\pi$$$$~=-\frac{\,13 \,}{\,12 \,}\pi$$ここで、偏角 $\theta$ は $0≦\theta\lt2\pi$ であるので、$$~~~-\frac{\,13 \,}{\,12 \,}\pi=\frac{\,11 \,}{\,12 \,}\pi-\frac{\, 24\,}{\, 12\,}\pi$$$$~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{\,11 \,}{\,12 \,}\pi+2\pi\times(-1)$$これより、偏角は、$$~~~\arg \left(\frac{\,\alpha \,}{\,\beta \,}\right)=\frac{\,11\,}{\,12 \,}\pi$$したがって、極形式は、$$~~~\frac{\,\alpha \,}{\,\beta \,}=\frac{\,\sqrt{2} \,}{\,2 \,}\left(\cos{\frac{\,11 \,}{\,12 \,}\pi}+i\sin{\frac{\,11 \,}{\,12 \,}\pi}\right)$$となる。