複素数の回転移動

複素数の回転移動の解法

問題解説：複素数の回転移動

問題解説(1)

${\large ①}~z$ を ${\large \frac{\,\pi\,}{\,3\,}}$ だけ回転するので、 $$~~~~~~\left(\cos{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,3 \,}}\right)\cdot z$$ $\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

$$~=\left(\frac{\,1 \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i\right)\cdot z$$ $z=1+\sqrt{3}i$ を代入すると、 $$~=\left(\frac{\,1 \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i\right)(1+\sqrt{3}i)$$ $$~=\frac{\,1 \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i+\frac{\,3 \,}{\,2 \,}i^2$$ $i^2=-1$ より、 $$~=\frac{\,1 \,}{\,2 \,}-\frac{\,3 \,}{\, 2\,}+\left(\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}\right)i$$ $$~=-1+\sqrt{3}i$$ したがって、回転した点の複素数は、 $$~~~-1+\sqrt{3}i$$

${\large ②}~z$ を $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}$ だけ回転するので、 $$~~~~~~\left\{ \cos\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,6 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,6 \,}}\right)\right\} \cdot z$$ $\sin{}~,~\cos{}$ を計算すると、単位円より、

$$~=\left(\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}-\frac{\,1 \,}{\,2 \,}i\right)\cdot z$$ $z=1+\sqrt{3}i$ を代入すると、 $$~=\left(\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}-\frac{\,1 \,}{\,2 \,}i\right)(1+\sqrt{3}i)$$ $$~=\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}+\frac{\,3 \,}{\,2 \,}i-\frac{\,1 \,}{\,2 \,}i+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}i^2$$ $i^2=-1$ より、 $$~=\frac{\,\sqrt{3} \,}{\,2 \,}+\frac{\,\sqrt{3} \,}{\, 2\,}+\left(\frac{\,3 \,}{\,2 \,}-\frac{\,1 \,}{\,2 \,}\right)i$$ $$~=\sqrt{3}+i$$ したがって、回転した点の複素数は、 $$~~~\sqrt{3}+i$$

問題解説(2)

${\large ①}~$ 複素数 $1+i$ について、絶対値は、 $$~~~~~~|1+i|$$ $$~=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ また、複素数平面上に表すと、

図より、偏角は ${\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}$ となるので、極形式は、 $$~~~\sqrt{2}\left(\cos{\frac{\,\pi \,}{\,4 \,}}+i\sin{\frac{\,\pi \,}{\,4 \,}}\right)$$ したがって、$(1+i)z$ は点 $z$ を原点を中心に ${\large \frac{\,\pi\,}{\,4\,}}$ だけ回転して、原点からの距離を $\sqrt{2}$ 倍した点となる。

${\large ②}~$ 複素数 $\sqrt{3}-i$ について、絶対値は、 $$~~~~~~|\sqrt{3}-i|$$ $$~=\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}$$ $$~=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2$$ また、複素数平面上に表すと、

図より、偏角は $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}$ となる（ここでの偏角は範囲指定がないので、実軸から近い方で考える。）ので、極形式は、 $$~~~2\left\{ \cos\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,6 \,}}\right)+i\sin\left(-{\frac{\,\pi \,}{\,6 \,}}\right)\right\}$$ したがって、$(\sqrt{3}-i)z$ は点 $z$ を原点を中心に $-{\large \frac{\,\pi\,}{\,6\,}}$ だけ回転して、原点からの距離を $2$ 倍した点となる。

今回のまとめ

複素数平面上での点の回転移動について解説していきました。かけ算する複素数の式でどのように回転移動するかをおさえておきましょう。

【問題一覧】数学Ⅲ｜複素数平面

このページは「高校数学Ⅲ：複素数平面」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないとき...

yorikuwa.com