アポロニウスの円

アポロニウスの円の解法
問題解説：アポロニウスの円
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

アポロニウスの円の解法

Point：アポロニウスの円２点 ${\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)$ からの距離の比が $m\,:\,n$ である点 ${\rm P}(z)$ について、$$~~~|z-\alpha|\,:\,|z-\beta|=m\,:\,n$$式変形すると、$$~~~n|z-\alpha|=m|z-\beta|$$この式を２乗すると、$$~~~n^2|z-\alpha|^2=m^2|z-\beta|^2$$複素数の性質 $|z|^2=z\overline {z}$ を利用し、計算を進めていく。
計算結果が次のようになり、$$~~~(z-\gamma)(\overline {z-\gamma})=r^2$$複素数の性質 $z\overline {z}=|z|^2$ より、$$~~~|z-\gamma|^2=r^2$$$$~~~\,\,|z-\gamma|=r$$これより、点 ${\rm P}(z)$ は、中心 $(\gamma)$ の半径 $r$ の円となる。

問題解説：アポロニウスの円

問題解説(1)

問題複素数平面上の点について、次の問いに答えよ。
${\small (1)}~$次の方程式を表す点 $z$ 全体はどのような図形か答えよ。$$~~~2|z-1|=|z+2|$$

与えられた式の両辺を２乗すると、$$~~~2^2|z-1|^2=|z+2|^2$$複素数の性質 $|z|^2=z\overline {z}$ より、$$~~~4(z-1)\left(\overline {z-1}\right)=(z+2)\left(\overline {z+2}\right)$$ここで、$\overline {-1}=-1~,~\overline {2}=2$ より、$$~~~4(z-1)\left(\overline {z}-1\right)=(z+2)\left(\overline {z}+2\right)$$展開すると、$$~~~4\left(z\overline {z}-z-\overline {z}+1\right)$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}+2z+\overline {z}+4$$$$~~~4z\overline {z}-4z-4\overline {z}+4$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}+2z+\overline {z}+4$$移項して計算すると、$$~~~3z\overline {z}-6z-6\overline {z}=0$$両辺を $\div3$ すると、$$~~~z\overline {z}-2z-2\overline {z}=0$$等式 $z\overline {z}+az+b\overline {z}$
　　　　$=(z+b)\left(\overline {z}+a\right)-ab$ より、$$~~~(z-2)\left(\overline {z}-2\right)-4=0$$ここで、$-2=\overline {-2}$ より、$$(z-2)\left(\overline {z-2}\right)=4$$複素数の性質 $z\overline {z}=|z|^2$ より、$$~~~|z-2|^2=2^2$$$$~~~\,\,|z-2|=2$$したがって、点 $(2)$ を中心とする半径 $2$ の円となる。

問題解説(2)

問題複素数平面上の点について、次の問いに答えよ。
${\small (2)}~$２点 ${\rm A}(2i)~,~{\rm B}(-2i)$ からの距離の比が $1\,:\,3$ である点 ${\rm P}(z)$ 全体はどのような図形か答えよ。

条件より、$$~~~{\rm AP\,:\,BP}=1\,:\,3$$$$~~~~~~~~3{\rm AP}={\rm BP}$$また、${\rm AP}$ と ${\rm BP}$ の値はそれぞれ、$$~~~{\rm AP}=|z-2i|$$$$~~~{\rm BP}=|z-(-2i)|=|z+2i|$$よって、$$~~~3|z-2i|=|z+2i|$$両辺を２乗すると、$$~~9(z-2i)\left(\overline {z-2i}\right)=(z+2i)\left(\overline {z+2i}\right)$$ここで、$\overline {-2i}=2i~,~\overline {2i}=-2i$ より、$$~~~9(z-2i)\left(\overline {z}+2i\right)=(z+2i)\left(\overline {z}-2i\right)$$展開すると、$$~~~9\left(z\overline {z}+2iz-2i\overline {z}-4i^2\right)$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}-2iz+2i\overline {z}-4i^2$$$i^2=-1$ より、$$~~~9z\overline {z}+18iz-18i\overline {z}+36$$$$~~~~~~~~~~~~~~~=z\overline {z}-2iz+2i\overline {z}+4$$移項して計算すると、$$~~~8z\overline {z}+20iz-20i\overline {z}+32=0$$両辺を $\div8$ すると、$$~~~z\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}iz-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\overline {z}+4=0$$等式 $z\overline {z}+az+b\overline {z}$
　　　　　$=(z+b)\left(\overline {z}+a\right)-ab$ より、$$\scriptsize~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)+\frac{\,25 \,}{\,4 \,}i^2+4=0$$移項して、$i^2=-1$ と計算すると、$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)=\frac{\,25 \,}{\,4 \,}-4$$$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z}+\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)=\frac{\,9 \,}{\,4 \,}$$ここで、${\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i=\overline {-{\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i}$ より、$$~~~\left(z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right)\left(\overline {z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i}\right)=\frac{\,9 \,}{\,4 \,}$$複素数の性質 $z\overline {z}=|z|^2$ より、$$~~~\left|z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right|^2=\left(\frac{\,3 \,}{\,2 \,}\right)^2$$$$~~~\,\left|z-\frac{\,5 \,}{\,2 \,}i\right|=\frac{\,3 \,}{\,2 \,}$$したがって、点 $\left({\large \frac{\,5\,}{\,2\,}}i\right)$ を中心とする半径 ${\large \frac{\,3\,}{\,2\,}}$ の円となる。