複素数平面上の一直線・垂直条件の解法
複素数平面上の３点 \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) について、$$~~~\angle{\rm BAC}=\arg \left(\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}\right)$$となることより、
３点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が一直線上にある条件は、
\(\angle{\rm BAC}=0\) または \(\angle{\rm BAC}=\pi\)
となるので、\(\sin{0}=0~,~\sin{\pi}=0\) となる。
よって、複素数 \({\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}}\) の虚部が \(0\) となり、実部だけとなる。
したがって、条件は、
■ ２直線が垂直になる条件
複素数平面上の３点 \({\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma)\) について、$$~~~\angle{\rm BAC}=\arg \left(\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}\right)$$となることより、
２直線 \({\rm AB~,~AC}\) が垂直になる条件は、
\(\angle{\rm BAC}={\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}\)
となるので、\(\cos{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}=0\) となる。
よって、複素数 \({\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}}\) の実部が \(0\) となり、虚部だけとなる。
したがって、条件は、
問題解説：複素数平面上の一直線・垂直条件
問題解説(1)
\({\small (1)}~\)３点 \({\rm A~,~B~,~C}\) が一直線上にあるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。
３点 \({\rm A}(-2+3i)~,~{\rm B}(i)~,~{\rm C}(2+ai)\) より、$$~~~\alpha=-2+3i~,~\beta=i~,~\gamma=2+ai$$とすると、次の複素数は、$$~~~~~~\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}$$$$~=\frac{\,(2+ai)-(-2+3i) \,}{\,i-(-2+3i) \,}$$$$~=\frac{\, 2+ai+2-3i\,}{\,i+2-3i \,}$$$$~=\frac{\,4+(a-3)i \,}{\,2-2i \,}$$$$~=\frac{\,4+(a-3)i \,}{\,2(1-i) \,}$$分母分子に \(1+i\) をかけると、$$~=\frac{\,\{4+(a-3)i\}(1+i) \,}{\,2(1-i)(1+i) \,}$$$$~=\frac{\,4+4i+(a-3)i+(a-3)i^2 \,}{\,2(1-i^2) \,}$$\(i^2=-1\) より、$$~=\frac{\,4+(4+a-3)i-a+3 \,}{\,2(1+1) \,}$$$$~=\frac{\,-a+7+(a+1)i \,}{\,4 \,}$$$$~=\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}+\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}i$$３点が一直線上にある条件は、この複素数が実数になるときで虚部が \(0\) となる。
よって、$$~~~\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}=0$$$$~~~~~\,a+1=0$$移項すると、$$~~~a=-1$$したがって、答えは \(a=-1\) となる。
問題解説(2)
\({\small (2)}~\)２直線 \({\rm AB~,~AC}\) が垂直であるとき、定数 \(a\) の値を求めよ。
(1) より、$$~~~~~~\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}$$$$~=\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}+\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}i$$２直線 \({\rm AB~,~AC}\) が垂直である条件は、この複素数が純虚数になるときで実部が \(0\) となる。
よって、$$~~~\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}=0$$$$~~~\,-a+7=0$$移項すると、$$~~~a=7$$したがって、答えは \(a=7\) となる。
今回のまとめ
複素数平面上の一直線・垂直条件について解説しました。複素数 \({\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}}\) を計算して、条件を適応させましょう。
