複素数平面上の一直線・垂直条件の解法
複素数平面上の３点 {\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma) について、~~~\angle{\rm BAC}=\arg \left(\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}\right)となることより、
３点 {\rm A~,~B~,~C} が一直線上にある条件は、
\angle{\rm BAC}=0 または \angle{\rm BAC}=\pi
となるので、\sin{0}=0~,~\sin{\pi}=0 となる。
よって、複素数 {\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}} の虚部が 0 となり、実部だけとなる。
したがって、条件は、
■ ２直線が垂直になる条件
複素数平面上の３点 {\rm A}(\alpha)~,~{\rm B}(\beta)~,~{\rm C}(\gamma) について、~~~\angle{\rm BAC}=\arg \left(\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}\right)となることより、
２直線 {\rm AB~,~AC} が垂直になる条件は、
\angle{\rm BAC}={\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}
となるので、\cos{\large \frac{\,\pi\,}{\,2\,}}=0 となる。
よって、複素数 {\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}} の実部が 0 となり、虚部だけとなる。
したがって、条件は、
問題解説：複素数平面上の一直線・垂直条件
問題解説(1)
{\small (1)}~３点 {\rm A~,~B~,~C} が一直線上にあるとき、定数 a の値を求めよ。
３点 {\rm A}(-2+3i)~,~{\rm B}(i)~,~{\rm C}(2+ai) より、~~~\alpha=-2+3i~,~\beta=i~,~\gamma=2+aiとすると、次の複素数は、~~~~~~\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}~=\frac{\,(2+ai)-(-2+3i) \,}{\,i-(-2+3i) \,}~=\frac{\, 2+ai+2-3i\,}{\,i+2-3i \,}~=\frac{\,4+(a-3)i \,}{\,2-2i \,}~=\frac{\,4+(a-3)i \,}{\,2(1-i) \,}分母分子に 1+i をかけると、~=\frac{\,\{4+(a-3)i\}(1+i) \,}{\,2(1-i)(1+i) \,}~=\frac{\,4+4i+(a-3)i+(a-3)i^2 \,}{\,2(1-i^2) \,}i^2=-1 より、~=\frac{\,4+(4+a-3)i-a+3 \,}{\,2(1+1) \,}~=\frac{\,-a+7+(a+1)i \,}{\,4 \,}~=\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}+\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}i３点が一直線上にある条件は、この複素数が実数になるときで虚部が 0 となる。
よって、~~~\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}=0~~~~~\,a+1=0移項すると、~~~a=-1したがって、答えは a=-1 となる。
問題解説(2)
{\small (2)}~２直線 {\rm AB~,~AC} が垂直であるとき、定数 a の値を求めよ。
(1) より、~~~~~~\frac{\,\gamma-\alpha \,}{\,\beta-\alpha \,}~=\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}+\frac{\,a+1 \,}{\,4 \,}i２直線 {\rm AB~,~AC} が垂直である条件は、この複素数が純虚数になるときで実部が 0 となる。
よって、~~~\frac{\,-a+7 \,}{\,4 \,}=0~~~\,-a+7=0移項すると、~~~a=7したがって、答えは a=7 となる。
今回のまとめ
複素数平面上の一直線・垂直条件について解説しました。複素数 {\large \frac{\,\gamma-\alpha\,}{\,\beta-\alpha\,}} を計算して、条件を適応させましょう。
