三角形の外心

三角形の外心の性質
問題解説：三角形の外心
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

三角形の外心の性質

Point：三角形の外心【定理】三角形の３辺の垂直二等分線は１点で交わる。

このときの交点 ${\rm O}$ を中心とする円を $\triangle {\rm ABC}$ の外接円といい、点 ${\rm O}$ を外心という。

・外心についての性質
( ⅰ ) 円周角と中心角の定理が成り立つ

$$\angle{\rm BOC}=2\angle{\rm BAC}$$

( ⅱ ) 外心 ${\rm O}$ から頂点に引いた線分は半径となるので、

$${\rm OB}={\rm OC}$$

これより、$\triangle {\rm OBC}$ は二等辺三角形となります。よって、底角が等しくなるので、

$$\angle{\rm OBC}=\angle{\rm OCB}$$

問題解説：三角形の外心

問題解説(1)

問題次の図で、$\triangle {\rm ABC}$ とその外心 ${\rm O}$ について、$\angle{\rm A}=80^\circ$ のとき、次の角を求めよ。

$${\small (1)}~\angle{\rm BOC}$$

図は次のようになります。

円周角と中心角の定理より、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BOC}=2\angle{\rm BAC}$$よって、値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BOC}=2\times80^\circ$$$$\hspace{ 42 pt}=160^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm BOC}=160^\circ$$となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\angle{\rm OCB}$$

次に $\triangle {\rm OBC}$ は ${\rm OB}={\rm OC}$ の二等辺三角形となり、底角が等しくなるので、
$$~~~\angle{\rm OBC}=\angle{\rm OCB}$$また、三角形の内角の和より、$$~~~\angle{\rm BOC}+\angle{\rm OBC}+\angle{\rm OCB}=180^\circ$$値を代入すると、$$\hspace{ 10 pt}160^\circ+\angle{\rm OCB}+\angle{\rm OCB}=180^\circ$$移項すると$$\hspace{ 10 pt}2\angle{\rm OCB}=180^\circ-160^\circ$$$$\hspace{ 10 pt} 2\angle{\rm OCB}=20^\circ$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm OCB}=10^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm OCB}=10^\circ$$となります。