円周角と中心角

2018.10.182020.06.09

円周角と中心角
問題：円周角と中心角
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

円周角と中心角

Point：円周角と中心角(1) 弧の長さが等しい$~\Leftrightarrow~$円周角が等しい

上の図で弧 ${\rm AB}$ と弧 ${\rm CD}$ が等しいとき、

$$\angle{\rm APB}=\angle{\rm AQB}=\angle{\rm CRD}$$

(2) 円周角は中心角の半分である

上の図で、

$$\angle{\rm AOB}=2\angle{\rm APB}$$

(3) 弧の長さが等しい $~\Leftrightarrow~$ 中心角が等しい

上の図で弧 ${\rm AB}$ と弧 ${\rm CD}$ が等しいとき、

$$\angle{\rm AOB}=\angle{\rm BOC}$$

また、

$$\angle{\rm AOC}=2\angle{\rm AOB}$$

これより、弧の長さの比と中心角の比は一致します。

問題：円周角と中心角

問題解説(1)

問題${\small (1)}$ 次の図の角度 $x~,~y$ の値を求めよ。
${\large ①}$

${\large ②}$

${\large ③}$

${\large ①}$

図より、弧 ${\rm AB}$ に対する円周角の定理より、$$~~~\angle{\rm AQB}=\angle{\rm APB}$$よって、$x=40^\circ$ となります。
また、弧 ${\rm AB}$ に対する円周角と中心角の定理より、$$~~~\angle{\rm AOB}=2\angle{\rm APB}$$よって、$$\hspace{ 10 pt}y=2\times40^\circ$$$$\hspace{ 18 pt}=80^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=40^\circ~,~y=80^\circ$$となります。

${\large ②}$

図より、弧 ${\rm AB}$ に対する円周角より、$$~~~\angle{\rm APB}=\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ARB}$$
また、弧 ${\rm BC}$ に対する円周角より、$$~~~\angle{\rm BQC}=\angle{\rm BRC}$$
また、${\rm AB}={\rm BC}={\rm CD}$ より、対応する円周角がすべて等しいので、$$\hspace{ 10 pt}x=22^\circ\times2$$$$\hspace{ 19 pt}=44^\circ$$
また、$$\hspace{ 10 pt}y=22^\circ\times3$$$$\hspace{ 18 pt}=66^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=44^\circ~,~y=66^\circ$$となります。

${\large ③}$

図より、大きい弧 ${\rm AB}$ に対する中心角は、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOB}=360^\circ-100^\circ$$$$\hspace{ 43 pt}=260^\circ$$
よって、これに対する中心角より、$$\hspace{ 10 pt}x=260^\circ\div2$$$$\hspace{ 19 pt}=130^\circ$$
よって、答えは$$~~~x=130^\circ$$となります。

問題解説(2)

問題次の問いに答えよ。
${\small (2)}$ 円 ${\rm O}$ の円上に３点 ${\rm A}$ $,$ ${\rm B}$ $,$ ${\rm C}$ をとり、次の比が成り立つとき、$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$$\angle{\rm ACB}$ $,$ $\angle{\rm BAC}$ $,$ $\angle{\rm ABC}$ の値を求めよ。

図は次のようになります。
$$~~~{\rm AB}:{\rm BC}:{\rm CA}=3:4:5$$これより、点 ${\rm O}$ を中心とした角を３つに分けると、$$~~~\angle{\rm AOB}:\angle{\rm BOC}:\angle{\rm COA}=3:4:5$$
$\angle{\rm AOB}$ について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOB}=\frac{3}{3+4+5}\times360^\circ=90^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm ACB}=90^\circ\div2=45^\circ$$
次に、$\angle{\rm BOC}$ について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BOC}=\frac{4}{3+4+5}\times360^\circ=120^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm BAC}=120^\circ\div2=60^\circ$$
次に、$\angle{\rm AOC}$ について、$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm AOC}=\frac{5}{3+4+5}\times360^\circ=150^\circ$$よって、これに対する円周角は$$\hspace{ 10 pt}\angle{\rm ABC}=150^\circ\div2=75^\circ$$
よって、答えは$$~~~\angle{\rm ABC}=75^\circ~,~\angle{\rm ACB}=45^\circ$$$$~~~\angle{\rm BAC}=60^\circ$$となります。