２つの円の位置関係と共通接線
Point：タイトル２つの円 \(C_1~,~C_2\) の半径がそれぞれ \(R~,~r\) （ただし、\(R>r\) ）となり、２つの円の中心間の距離を \(d\) とするとき、
\(d\) と \(R+r\) と \(R-r\) の大小関係より、２つの円の位置関係の条件を求めます。
( ⅰ ) \(d>R+r\) のとき
２つの円は離れている（外部にある）
共通接線は４本
( ⅱ ) \(d=R+r\) のとき
２つの円は互いに外接する
共通接線は３本
( ⅲ ) \(R-r<d<R+r\) のとき
２つの円は２点で交わる
共通接線は２本
( ⅳ ) \(d=R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) に内接する
共通接線は１本
( ⅴ ) \(d<R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) の内部にある
共通接線は０本
\(d\) と \(R+r\) と \(R-r\) の大小関係より、２つの円の位置関係の条件を求めます。
( ⅰ ) \(d>R+r\) のとき
２つの円は離れている（外部にある）
共通接線は４本
( ⅱ ) \(d=R+r\) のとき
２つの円は互いに外接する
共通接線は３本
( ⅲ ) \(R-r<d<R+r\) のとき
２つの円は２点で交わる
共通接線は２本
( ⅳ ) \(d=R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) に内接する
共通接線は１本
( ⅴ ) \(d<R-r\) のとき
円 \(C_2\) が円 \(C_1\) の内部にある
共通接線は０本
問題解説：２つの円の位置関係と共通接線
問題解説(1)
問題半径 \(3\) の円と、半径 \(7\) の円について、２円の中心間の距離を \(d\) とし、それが以下の値を取るとき、２円の位置関係と共通接線の本数を答えよ。$${\small (1)}~d=2$$
２つの円の半径の和は$$~~~3+7=10$$また、半径の差は$$~~~7-3=4$$数直線上にまとめると、次のようになります。
ここで、\(d=2\) より \(d<4\) となるので、２つの円の位置関係は次の図のようになります。
これより、半径 \(3\) の円が半径 \(7\) の円の内部にあり、共通接線は０本となります。
問題解説(2)
問題$${\small (2)}~d=10$$
\(d=10\) より半径の和と等しくなるので、２つの円の位置関係は次の図のようになります。
これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は外接しており、共通接線は３本となります。
問題解説(3)
問題$${\small (3)}~d=14$$
\(d=14\) より \(10<d\) となるので、、２つの円の位置関係は次の図のようになります。
これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は離れており、共通接線は４本となります。
問題解説(4)
問題$${\small (4)}~d=8$$
\(d=8\) より \(4<d<10\) となるので、、２つの円の位置関係は次の図のようになります。
これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は２点で交わり、共通接線は２本となります。
問題解説(5)
問題$${\small (5)}~d=4$$
\(d=4\) より半径の差と等しくなるので、２つの円の位置関係は次の図のようになります。
これより、半径 \(3\) の円と半径 \(7\) の円は内接しており、共通接線は１本となります。
今回のまとめ
２つの円の位置関係は、２円の半径の和と差を求めて数直線上にまとめます。これより５つの場合に分けて考えましょう。また、共通接線は位置関係の図より求めるようにしましょう。
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