数学Ｂ｜群数列の求め方・考え方のコツ | ページ 2

群数列の解法
問題解説：群数列
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

群数列の解法

Point：群数列$$~~~1~|~3~,~5~|~7~,~9~,~11~|~\cdots$$この群数列の第 $n$ 群の最初の項の求め方は、
① $n$ は群の番号となるので、$m$ を項の番号と考えます。元の数列 $\{a_m\}$ の一般項を求めると、$$~~~a_m=2m-1$$② 各群に何個の項があるかを書き並べた数列 $\{b_n\}$ を考え、一般項を求めます。$$~~~\{b_n\}=\{~1~,~2~,~3~,~\cdots~\}$$よって、一般項は $b_n=n$ となります。
これらより、第 $n$ 群の中の個数 $b_n$ と、初めから数えて $m$ 番目の数値 $a_m$ の関係の表は次のようになります。

第 $n$ 群	$1$	$2$		$3$			$\cdots$
$b_n$ 個	$1$	$2$		$3$			$\cdots$
$m$ 番目	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\cdots$
$a_m$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$	$\cdots$

③ $n≧2$ のとき、第 $n-1$ 群までの項の個数の総和を求めます。$$\hspace{ 10 pt}\sum_{k=1}^{n-1} b_k=\sum_{k=1}^{n-1} k$$$$\hspace{ 38 pt}=\frac{1}{2}(n-1)n$$④ 第 $n$ 群の最初の項は、数列 $\{a_m\}$ の初めから数えて $m$ 番目かは、
「第 $n-1$ 群までの個数＋１」
となるので、$$~~~~~~m=\frac{1}{2}(n-1)n+1$$となります。
⑤ 第 $n$ 群の最初の項は、$\{a_m\}$ の一般項と「何番目の項であるか」より、次のようになります。$$~~~~~~2\left\{ \frac{1}{2}(n-1)n+1 \right\} -1$$$$~=n^2-n+1$$⑥ 求めた式が $n=1$ のときに成り立つか確認します。$$~~~~~~1^2-1+1$$$$~=1-1+1$$$$~=1$$第１群の最初の項と等しくなります。

問題解説：群数列

問題解説(1)

問題次の群数列について、以下の問いに答えよ。$$~2~|~4~,~6~,~8~|~10~,~12~,~14~,~16~,~18~|~\cdots$$${\small (1)}~$第 $n$ 群の最初の項を求めよ。

$n$ は群の番号となるので、$m$ を項の番号と考えます。この数列を $\{a_m\}$ とすると、一般項 $a_m$ は、$$\hspace{ 10 pt}a_m=2m$$となります。
また、各群の中にある項の個数は、第１群に１個、第２群に３個、第３群に５個となっており、これを数列 $\{b_n\}$ とすると、$$\hspace{ 10 pt} \{b_n\}=\{~1~,~3~,~5~,~\cdots~\}$$よって、この数列は初項 $1$、公差 $2$ の等差数列となるので、一般項 $b_n$ は、初項から $n-1$ 回公差を加えることより、$$\hspace{ 10 pt}b_n=1+(n-1)\cdot2$$$$\hspace{ 21 pt}=1+2n-2$$$$\hspace{ 21 pt}=2n-1$$これらより、第 $n$ 群の中の個数 $b_n$ と、初めから数えて $m$ 番目の数値 $a_m$ の関係の表は次のようになります。

$n$	$1$	$2$			$3$					$\cdots$
$b_n$	$1$	$3$			$5$					$\cdots$
$m$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$\cdots$
$a_m$	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$	$12$	$14$	$16$	$18$	$\cdots$

$n≧2$ のとき、第 $n-1$ 群までの各群の中の個数の総和を求めると、$$\hspace{ 20 pt}\sum_{k=1}^{n-1}b_k$$$$\hspace{ 10 pt}=\sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)$$$$\hspace{ 10 pt}=2\sum_{k=1}^{n-1}k-\sum_{k=1}^{n-1}1$$$$\hspace{ 10 pt}=2\cdot\frac{1}{2}(n-1)\{(n-1)+1\}-(n-1)$$$$\hspace{ 10 pt}=(n-1)(n-1+1)-n+1$$$$\hspace{ 10 pt}=(n-1)n-n+1$$$$\hspace{ 10 pt}=n^2-n-n+1$$$$\hspace{ 10 pt}=n^2-2n+1$$ここで、第 $n$ 群の最初の項は、元の数列の初めから数えて $m$ 番目とすると、
「第 $n-1$ 群までの項の総和＋１」
となるので、$$~~~m=(n^2-2n+1)+1=n^2-2n+2$$よって、初めから数えて $n^2-2n+2$ 番目となります。
したがって、これと一般項 $a_m=2m$ より、第 $n$ 群の最初の項は、$$~~~2(n^2-2n+2)=2n^2-4n+4$$また、$n=1$ のとき、$$~~~~~~2\cdot1^2-4\cdot1+4$$$$~=2-4+4$$$$~=2$$これより、第１群の最初の項と等しくなります。
よって、答えは$$~~~ 2n^2-4n+4$$となります。

問題解説(2)

問題次の群数列について、以下の問いに答えよ。$$~2~|~4~,~6~,~8~|~10~,~12~,~14~,~16~,~18~|~\cdots$$${\small (2)}~$第 $n$ 群のすべての項の和を求めよ。

第 $n$ 群は、最初の項は(1)の答えより $2n^2-4n+4$、公差が $2$、群の中の項数は、$b_n=2n-1$ の等差数列となるので、その和は、$$\hspace{ 20 pt}\frac{1}{2}(2n-1)\{ 2(2n^2-4n+4)$$$$\hspace{ 80 pt}+(2n-1-1)\cdot 2\}$$$$\hspace{ 10 pt}= \frac{1}{2}(2n-1)(4n^2-8n+8+4n-4)$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{1}{2}(2n-1)(4n^2-4n+4)$$$$\hspace{ 10 pt}=\frac{4}{2}(2n-1)(n^2-n+1)$$$$\hspace{ 10 pt}=2 (2n-1)(n^2-n+1)$$よって、答えは、$$~~~2(2n-1)(n^2-n+1)$$となります。

今回のまとめ

群数列の解法のポイントは、各群の項の個数を新たな数列として考えて、第 $n$ 群の最初の項は、「第 $n-1$ 群までの項の個数の総和＋１」番目の項となります。

【問題一覧】数学Ｂ：数列

このページは「高校数学Ｂ：数列」の問題一覧ページとなります。解説の見たい単元名がわからないときは、こ...

第 \(n\) 群	\(1\)	\(2\)		\(3\)			\(\cdots\)
\(b_n\) 個	\(1\)	\(2\)		\(3\)			\(\cdots\)
\(m\) 番目	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(\cdots\)
\(a_m\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)	\(7\)	\(9\)	\(11\)	\(\cdots\)

\(n\)	\(1\)	\(2\)			\(3\)					\(\cdots\)
\(b_n\)	\(1\)	\(3\)			\(5\)					\(\cdots\)
\(m\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(7\)	\(8\)	\(9\)	\(\cdots\)
\(a_m\)	\(2\)	\(4\)	\(6\)	\(8\)	\(10\)	\(12\)	\(14\)	\(16\)	\(18\)	\(\cdots\)