特性方程式を用いる漸化式
① \(a_{n+1}\) と \(a_n\) を \(c\) とした式より \(c\) の値を求めます。$$~~~c=pc+q$$（この計算は解答には書かなくてよい。）
② \(c\) の値を用いて、与えられた漸化式を次のように式変形します。
③ \(b_n=a_n-c\) と置くと、\(b_{n+1}=a_{n+1}-c\) となることより、$$~~~b_{n+1}=pb_n$$この数列 \(\{b_n\}\) は公比 \(p\) の等比数列となります。これより一般項 \(b_n\) を求めます。
④ \(b_n=a_n-c\) より、\(a_n\) を求めます。
問題解説：漸化式②（特性方程式）
問題解説(1)
与えられた漸化式を \(a_{n+1}=c,a_n=c\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}c=5c-4$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c-5c=-4$$$$\hspace{ 19 pt}-4c=-4$$両辺を \(-4\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}c=1$$（この計算は解答に書かなくてよい。）
与えられた漸化式を式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}a_{n+1}-1=5(a_n-1)~~~\cdots{\Large ①}$$ここで、\(b_n=a_n-1\) とすると、\(b_{n+1}=a_{n+1}-1\) となります。
また、\(n=1\) のときは、$$\hspace{ 10 pt}b_1=a_1-1$$$$\hspace{ 21 pt}=6-1$$$$\hspace{ 21 pt}=5$$となります。
よって、①の式は、$$\hspace{ 10 pt}b_{n+1}=5b_n$$これは、初項 \(5\)、公比 \(5\) の等比数列となるので、その一般項は初項から公比を \(n-1\) 回かけることより、$$\hspace{ 10 pt}b_{n}=5\cdot5^{n-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=5^n$$\(b_n=a_n-1\) であることより、元に戻すと、$$\hspace{ 10 pt}a_n-1=5^n$$\(1\) を移項すると、$$\hspace{ 28 pt}a_n=5^n+1$$よって、答えは、$$~~~a_n=5^n+1$$となります。
問題解説(2)
与えられた漸化式を \(a_{n+1}=c,a_n=c\) とすると、$$\hspace{ 10 pt}c=3c+1$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}c-3c=1$$$$\hspace{ 19 pt}-2c=1$$両辺を \(-2\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}c=-\frac{1}{2}$$（この計算は解答に書かなくてよい。）
与えられた漸化式を式変形すると、$$\hspace{ 10 pt}a_{n+1}+\frac{1}{2}=3\left(a_n+\frac{1}{2}\right)~~~\cdots{\Large ①}$$ここで、$$~~~b_n=a_n+\frac{1}{2}$$とすると、$$~~~b_{n+1}=a_{n+1}+\frac{1}{2}$$となります。
また、\(n=1\) のときは、$$\hspace{ 10 pt}b_1=a_1+\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 21 pt}=1+\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{3}{2}$$となります。
よって、①の式は、$$\hspace{ 10 pt}b_{n+1}=3b_n$$これは、初項 \({\Large \frac{3}{2}}\)、公比 \(3\) の等比数列となるので、その一般項は初項から公比を \(n-1\) 回かけることより、$$\hspace{ 10 pt}b_{n}=\frac{3}{2}\cdot3^{n-1}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{3^n}{2}$$\(b_n=a_n+{\Large \frac{1}{2}}\) であることより、元に戻すと、$$\hspace{ 10 pt}a_n+\frac{1}{2}=\frac{3^n}{2}$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}a_n=\frac{3^n}{2}-\frac{1}{2}$$$$\hspace{ 21 pt}=\frac{1}{2}(3^n-1)$$よって、答えは、$$~~~a_n=\frac{1}{2}(3^n-1)$$となります。
今回のまとめ
特性方程式を用いる漸化式は、特性方程式の作り方とその解より、漸化式の式変形の方法がポイントとなります。また、等比数列として計算して元に戻す方法も覚えておきましょう。
