ベクトルの成分と式変形

2018.11.162020.06.09

ベクトルの相等と分解
問題解説：ベクトルの成分と式変形
1. 問題解説(1)
2. 問題解説(2)
今回のまとめ

ベクトルの相等と分解

Point：ベクトルの相等２つのベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ の成分が$$~~~\overrightarrow{a}=(x_a~,~y_a)~,~\overrightarrow{b}=(x_b~,~y_b)$$のとき、$$~~~\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$$が成り立つとき、$$~~~\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right)$$よって、

$$x_a=x_b~,~y_a=y_b$$

Point：ベクトルの分解

２つのベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ がそれぞれ $\overrightarrow{0}$ でなく平行でないとき、任意のベクトル $\overrightarrow{p}$ は次のただ１通りで表すことができます。
$s~,~t$ を実数とすると、

$$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$$

これは、ベクトルの成分の演算でも用いることができます。

問題解説：ベクトルの成分と式変形

問題解説(1)

問題次の $\overrightarrow{a}$ $,$ $\overrightarrow{b}$ $,$ $\overrightarrow{c}$ について、以下の問いに答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$${\small (1)}$ $\overrightarrow{a} +2\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ を満たす $\overrightarrow{d}$ の成分を求めよ。

$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{a} +2\overrightarrow{d}=3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$$\overrightarrow{a}$ を移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2\overrightarrow{d}=-\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$$ここで、成分の計算をすると、$$\hspace{ 10 pt}2\overrightarrow{d}=-\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+3\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}= \left(\begin{array} {c} -1 \\ -3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -6 \\ 3 \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -3 \\ 5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}=\left(\begin{array} {c} -1-6-3 \\ -3+3+5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 30 pt}=\left(\begin{array} {c} -10 \\ 5 \end{array}\right)$$よって、両辺を $2$ で割ると$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{d}=\frac{1}{2}\left(\begin{array} {c} -10 \\ 5 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 25 pt}=\left(\begin{array} {c} -5 \\ {\Large \frac{5}{2}} \end{array}\right)$$
答えは$$~~~\overrightarrow{d}=\left( -5~,~\frac{5}{2} \right)$$となります。

問題解説(2)

問題${\small (2)}$ $\overrightarrow{c}$ を $\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$ の形で表せ。

$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}$$ベクトルの成分の計算をすると、$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=m\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)+n\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} m \\ 3m \end{array}\right)+\left(\begin{array} {c} -2n \\ n \end{array}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right)=\left(\begin{array} {c} m-2n \\ 3m+n \end{array}\right)$$よって、$$~~~\biggl\{ \begin{eqnarray} 3=m-2n~~~\cdots{\Large ①} \\ -5=3m+n~~~\cdots{\Large ②} \end{eqnarray}$$①＋②×２より、$$\hspace{ 10 pt}3-5\times2=(m-2n)+(3m+n)\times2$$$$\hspace{ 22 pt}3-10=m-2n+6m+2n$$$$\hspace{ 40 pt}-7=7m$$両辺を入れ替えて、$7$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}7m=13$$$$\hspace{ 15 pt}m=-1$$
また、①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}3=-1-2n$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2n=-1-3$$$$\hspace{ 10 pt}2n=-4$$両辺を $2$ で割ると、$$\hspace{ 10 pt}n=-2$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$$となります。