点の座標とベクトルの成分

2018.11.162020.06.09

点の座標とベクトルの成分
問題解説：点の座標とベクトルの成分
今回のまとめ

点の座標とベクトルの成分

Point：点の座標とベクトルの成分平面上の点 ${\rm A}(x_a~,~y_a)$ $,$ ${\rm B}(x_b~,~y_b)$ において、
ベクトル $\overrightarrow{\rm OA}$ の成分は、

$$\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)$$

その大きさは、

$$|\overrightarrow{\rm OA}|=\sqrt{{x_a}^2+{y_a}^2}$$

また、２点を結ぶ線分のベクトル $\overrightarrow{\rm AB}$ は、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} x_b-x_a \\ y_b-y_b \end{array}\right)$$成分を求めるときは、「終点－始点」と計算すると覚えておきましょう。
また、その大きさは、

$$|\overrightarrow{\rm AB}|=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$$

問題解説：点の座標とベクトルの成分

問題解説(1)

問題４点 ${\rm O}(0~,~0)$ $,$ ${\rm A}(3~,~4)$ $,$ ${\rm B}(2~,~-1)$ $,$ ${\rm C}(-3~,~2)$ について、次のベクトルを成分で表し、その大きさを求めよ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm OA}$$

点の座標より、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$
また、大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OA}|=\sqrt{3^2+4^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{9+16}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{25}$$$$\hspace{ 34 pt}=5$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=(3~,~4)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OA}|=5$$となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm OB}$$

点の座標より、$$~~~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$
また、大きさは、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{2^2+(-1)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{4+1}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{5}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm OB}=(2~,~-1)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm OB}|=\sqrt{5}$$となります。

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AC}$$

点の座標より、「終点－始点」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 3 \\ 4 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3-3 \\ 2-4 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -6 \\ -2 \end{array}\right)$$
また、大きさ、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm AC}|=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{36+4}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{40}$$$$\hspace{ 34 pt}=2\sqrt{10}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AC}=(-6~,~-2)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm AC}|=2\sqrt{10}$$となります。

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm BC}$$

点の座標より、「終点－始点」と計算すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3 \\ 2 \end{array}\right)-\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -3-2 \\ 2+1 \end{array}\right)$$$$\hspace{ 28 pt}=\left(\begin{array} {c} -5 \\ 3 \end{array}\right)$$
また、大きさ、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{(-5)^2+3^2}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{25+9}$$$$\hspace{ 34 pt}=\sqrt{34}$$

よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm BC}=(-5~,~3)$$$$~~~|\overrightarrow{\rm BC}|=\sqrt{34}$$となります。