ベクトルの内積②（成分利用）

2018.11.172020.06.09

成分を用いたベクトルの内積の解法
問題解説：ベクトルの内積②（成分利用）
今回のまとめ

成分を用いたベクトルの内積の解法

Point：成分を用いたベクトルの内積２つのベクトル $\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}$ について、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} x_a \\ y_a \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} x_b \\ y_b \end{array}\right) $$のとき、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積 $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$ は、

$$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_ax_b+y_ay_b$$

となります。

問題解説：ベクトルの内積②（成分利用）

問題解説(1)

問題次の $\overrightarrow{a}$ $,$ $\overrightarrow{b}$ $,$ $\overrightarrow{c}$ について、以下の内積に答えよ。$$~~~~~~\overrightarrow{a}=(1~,~3)~,~\overrightarrow{b}=(-2~,~1)$$$$~~~~~~\overrightarrow{c}=(3~,~-5)$$$${\small (1)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right) $$よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{b}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$$$$~=1\cdot(-2)+3\cdot1$$$$~=-2+3$$$$~=1$$
よって、答えは $1$ となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} -2 \\ 1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right) $$よって、$\overrightarrow{b}$ と $\overrightarrow{c}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$$$~=-2\cdot3+1\cdot(-5)$$$$~=-6-5$$$$~=-11$$
よって、答えは $-11$ となります。

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$

ベクトルの成分は、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} 3 \\ -5 \end{array}\right) $$よって、$\overrightarrow{a}$ と $\overrightarrow{c}$ の内積は、$$~~~~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$$$$~=1\cdot3+3\cdot(-5)$$$$~=3-15$$$$~=-12$$
よって、答えは $-12$ となります。