ベクトルの垂直条件の解法
よって、\(\cos{90^\circ}=0\) となるので \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) の内積が
となります。
問題解説：ベクトルの垂直条件
問題解説(1)
\({\small (1)}\) \(\overrightarrow{a}=(1~,~3)\) に垂直な単位ベクトルを成分で表せ。
求める単位ベクトル \(\overrightarrow{e}\) の成分を$$~~~\overrightarrow{e}=(x~,~y)$$とすると、大きさが \(1\) となるベクトルであることより、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{e}|=\sqrt{x^2+y^2}=1$$$$\hspace{ 50 pt}x^2+y^2=1~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{e}\) は垂直であるので、内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=0\) となります。
よって、$$~~~\overrightarrow{a}=\left(\begin{array} {c} 1 \\ 3 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{e}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \end{array}\right)$$これより、内積は$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e}=1\cdot x+3\cdot y=0$$$$\hspace{ 72 pt}x+3y=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}x=-3y~~~\cdots{\Large ②}$$
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}(-3y)^2+y^2=1$$$$\hspace{ 26 pt}9y^2+y^2=1$$$$\hspace{ 43 pt}10y^2=1$$両辺を \(10\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}y^2=\frac{1}{10}$$両辺にルートをとると、$$\hspace{ 10 pt}y=\pm\sqrt{\frac{1}{10}}$$$$\hspace{ 10 pt}y=\pm\frac{1}{\sqrt{10}}$$
( ⅰ ) \(y={\large \frac{1}{\sqrt{10}}}\) のとき、②より$$\hspace{ 10 pt}x=-3\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}$$$$\hspace{ 19 pt}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$$
( ⅱ ) \(y=-{\large \frac{1}{\sqrt{10}}}\) のとき、②より$$\hspace{ 10 pt}x=-3\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$$$\hspace{ 19 pt}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$
よって、答えは$$~~~\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}~,~\frac{1}{\sqrt{10}}\right)~,~\left(\frac{3}{\sqrt{10}}~,~-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$$となります。
問題解説(2)
求めるベクトル \(\overrightarrow{c}\) の成分を$$~~~\overrightarrow{c}=(x~,~y)$$とすると、大きさが \(\sqrt{5}\) となるベクトルであることより、$$\hspace{ 10 pt}|\overrightarrow{c}|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{5}$$$$\hspace{ 50 pt}x^2+y^2=5~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{c}\) は垂直であるので、内積 \(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0\) となります。
よって、$$~~~\overrightarrow{b}=\left(\begin{array} {c} 2 \\ -1 \end{array}\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\begin{array} {c} x \\ y \end{array}\right)$$これより、内積は$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=2\cdot x+(-1)\cdot y=0$$$$\hspace{ 88 pt}2x-y=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}2x=y~~~\cdots{\Large ②}$$
①に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}x^2+(2x)^2=5$$$$\hspace{ 17 pt}x^2+4x^2=5$$$$\hspace{ 40 pt}5x^2=5$$両辺を \(5\) で割ると、$$\hspace{ 10 pt}x^2=1$$両辺にルートをとると、$$\hspace{ 10 pt}y=\pm1$$
( ⅰ ) \(y=1\) のとき、②より$$\hspace{ 10 pt}y=2\cdot1$$$$\hspace{ 18 pt}=2$$
( ⅱ ) \(y=-1\) のとき、②より$$\hspace{ 10 pt}y=2\cdot(-1)$$$$\hspace{ 18 pt}=-2$$
よって、答えは$$~~~(1~,~2)~,~(-1~,~-2)$$となります。
今回のまとめ
ベクトルの垂直条件の問題は、垂直条件である内積が \(0\) の式と大きさの式を連立して解きましょう。
