２直線の交点のベクトル
① \(\triangle {\rm OAE}\) について着目して、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。
② \(\triangle {\rm OBD}\) について着目して、\(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。
③ ①と②より、ベクトルの係数比較を用いて \(s\) ( または \(t\) ) を求めます。
このとき、「\(\overrightarrow{\rm OA}\) と \(\overrightarrow{\rm OB}\) は \(\overrightarrow{\rm OA}\neq0\) \(,\) \(\overrightarrow{\rm OB}\neq0\) かつ \(\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB}\) は平行でない」を書くことを忘れないように！
④ \(\overrightarrow{\rm OF}\) を求めます。
問題解説：２直線の交点のベクトル
$$~~~{\rm AF:FE}=s:1-s$$$$~~~{\rm BF:FD}=t:1-t$$とすると、図は次のようになります。
ここで、\(\triangle {\rm OAE}\) について、
\(\overrightarrow{\rm OE}\) は、$$~~~\overrightarrow{\rm OE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{\rm OB}=\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$よって、点 \({\rm F}\) は線分 \({\rm AE}\) を \(s:1-s\) に内分しているので、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\frac{(1-s)\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OE}}{s+(1-s)}$$$$~=(1-s)\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OE}$$$$~=(1-s)\overrightarrow{a}+s\left(\frac{2}{3}\overrightarrow{b}\right)$$$$~=(1-s)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b}~~~\cdots{\Large ①}$$
次に、\(\triangle {\rm OBD}\) について、
\(\overrightarrow{\rm OD}\) は、$$~~~\overrightarrow{\rm OD}=\frac{2}{5}\overrightarrow{\rm OA}=\frac{2}{5}\overrightarrow{a}$$よって、点 \({\rm F}\) は線分 \({\rm BD}\) を \(t:1-t\) に内分しているので、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\frac{(1-t)\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OD}}{t+(1-t)}$$$$~=(1-t)\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OD}$$$$~=(1-t)\overrightarrow{b}+t\left(\frac{2}{5}\overrightarrow{a}\right)$$$$~=\frac{2}{5}t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}~~~\cdots{\Large ②}$$
よって、①と②より、$$~~~(1-s)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}s\overrightarrow{b}=\frac{2}{5}t\overrightarrow{a}+(1-t)\overrightarrow{b}$$\(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) は \(\overrightarrow{a}\neq0\) \(,\) \(\overrightarrow{b}\neq0\) かつ \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) は平行でないので、$$~~~\Biggl\{~~ \begin{eqnarray} 1-s=\frac{2}{5}t~~~\cdots{\Large ③} \\ \frac{2}{3}s=1-t~~~\cdots{\Large ④} \end{eqnarray}$$④より、$$\hspace{ 10 pt}\frac{2}{3}s=1-t$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}t=1-\frac{2}{3}s$$これを③に代入すると、$$\hspace{ 10 pt}1-s=\frac{2}{5}\left(1-\frac{2}{3}s\right)$$$$\hspace{ 10 pt}1-s=\frac{2}{5}-\frac{4}{15}s$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt}-s+\frac{4}{15}s=\frac{2}{5}-1$$$$\hspace{ 10 pt}\frac{-15+4}{15}s=\frac{2-5}{5}$$$$\hspace{ 27 pt}-\frac{11}{15}s=-\frac{3}{5}$$両辺に \(-{\large \frac{15}{11}}\) をかけると、$$\hspace{ 10 pt}s=-\frac{3}{5}\times\left(-\frac{15}{11}\right)$$$$\hspace{ 10 pt}s=\frac{9}{11}$$
よって、①に代入すると、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm OF}$$$$~=\left(1-\frac{9}{11}\right)\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{11}\overrightarrow{b}$$$$~=\frac{11-9}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$$$~=\frac{2}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$
答えは、$$~~~\overrightarrow{\rm OF}=\frac{2}{11}\overrightarrow{a}+\frac{6}{11}\overrightarrow{b}$$となります。
今回のまとめ
２直線の交点のベクトルは、２つの三角形に分けてそれぞれで交点の位置ベクトルを表し係数比較する解法をおさえておきましょう。
