空間ベクトルの基本と分解

空間ベクトルの基本と分解の解法
問題解説：空間ベクトルの基本と分解
今回のまとめ

空間ベクトルの基本と分解の解法

Point：空間ベクトルの性質空間ベクトルでも平面ベクトルのときと同様のベクトルの性質を用いることができます。

$$~~{\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}=\overrightarrow{\rm AC}~~$$$$~~{\small (2)}~\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm BA}~~$$$$~~{\small (3)}~\overrightarrow{\rm AA}=\overrightarrow{0}~~$$$$~~{\small (4)}~\overrightarrow{\rm BA}=-\overrightarrow{\rm AB}~~$$

Point：空間ベクトルの分解

同じ平面上にない４点 ${\rm O~,~A~,~B~,~C}$ について、$$~~~\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}$$のとき、任意のベクトル $\overrightarrow{p}$ は次の形のただ１通りで表すことができます。
$s~,~t~,~u$ を実数とすると、

$$\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}$$

問題解説：空間ベクトルの基本と分解

問題解説(1)

問題平行六面体 ${\rm ABCD-EFGH}$ において、${\rm AB}=4$ $,$ ${\rm AD}=3$ $,$ ${\rm AE}=2$ であり $\overrightarrow{\rm AB}$ $,$ $\overrightarrow{\rm AD}$ $,$ $\overrightarrow{\rm AE}$ の単位ベクトルをそれぞれ $\overrightarrow{x}$ $,$ $\overrightarrow{y}$ $,$ $\overrightarrow{z}$ とするとき、次のベクトルを $\overrightarrow{x}$ $,$ $\overrightarrow{y}$ $,$ $\overrightarrow{z}$ を用いて表せ。$${\small (1)}~\overrightarrow{\rm AB}$$

平行六面体は次のようになります。

$\overrightarrow{\rm AB}$ と向きが同じで大きさが $1$ のベクトルが $\overrightarrow{x}$ であり、$|\overrightarrow{\rm AB}|=4$ であるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}=4\overrightarrow{x}~~~\cdots{\Large ①}$$となります。

問題解説(2)

問題$${\small (2)}~\overrightarrow{\rm AF}$$

$\overrightarrow{\rm AE}$ と向きが同じで大きさが $1$ のベクトルが $\overrightarrow{z}$ であり、$|\overrightarrow{\rm AE}|=2$ であるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AE}=2\overrightarrow{z}~~~\cdots{\Large ②}$$となります。
また、平行四辺形 ${\rm ABFE}$ は、

よって、$\overrightarrow{\rm AF}$ はこの平行四辺形の対角線のベクトルとなるので、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AF}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AE}$$①と②を代入すると、$$\hspace{ 27 pt}=4\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{z}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AE}=4\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{z}$$となります。

問題解説(3)

問題$${\small (3)}~\overrightarrow{\rm AG}$$

$\overrightarrow{\rm AD}$ と向きが同じで大きさが $1$ のベクトルが $\overrightarrow{y}$ であり、$|\overrightarrow{\rm AD}|=3$ であるので、$$~~~\overrightarrow{\rm AD}=3\overrightarrow{y}~~~\cdots{\Large ③}$$となります。
また、$\overrightarrow{\rm AG}$ は点 ${\rm F}$ を経由して進むと、

図より、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG}$$ここで、$\overrightarrow{\rm FG}=\overrightarrow{\rm AD}$ であるので、$$\hspace{ 27 pt}=\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm AD}$$(3)の答えと③より、$$\hspace{ 27 pt}=(4\overrightarrow{x}+2\overrightarrow{z})+3\overrightarrow{y}$$$$\hspace{ 27 pt}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm AG}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}+2\overrightarrow{z}$$となります。

問題解説(4)

問題$${\small (4)}~\overrightarrow{\rm FH}$$

平行四辺形 ${\rm HGFE}$ は次のようになります。

これより、$\overrightarrow{\rm FH}$ はベクトルの差より、$$~~~\overrightarrow{\rm FH}=\overrightarrow{\rm EH}-\overrightarrow{\rm EF}$$となり、平行なベクトルより、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm EH}=\overrightarrow{\rm AD}~,~\overrightarrow{\rm EF}=\overrightarrow{\rm AB}$$これらを用いて表すと、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm FH}=\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AB}$$①と③より、$$\hspace{ 27 pt}=3\overrightarrow{y}-4\overrightarrow{x}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm FH}=3\overrightarrow{y}-4\overrightarrow{x}$$となります。

問題解説(5)

問題$${\small (5)}~\overrightarrow{\rm EC}$$

$\overrightarrow{\rm EC}$ は点 ${\rm F}$ を経由して進むと、

図より、$$~~~\overrightarrow{\rm EC}=\overrightarrow{\rm EF}+\overrightarrow{\rm FC}$$また、$\overrightarrow{\rm FC}$ は点 ${\rm G}$ を経由すると、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm EC}=\overrightarrow{\rm EF}+(\overrightarrow{\rm FG}+\overrightarrow{\rm GC})$$$$\hspace{ 27 pt}=\overrightarrow{\rm EF}+\overrightarrow{\rm FG}+\overrightarrow{\rm GC}$$ここで、平行ベクトルより、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm EF}=\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm FG}=\overrightarrow{\rm AD}$$平行なベクトルで向きが逆のベクトルより、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm GC}=-\overrightarrow{\rm AE}$$これらを用いて表すと、$$\hspace{ 10 pt}\overrightarrow{\rm EC}=\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AE}$$①、②、③より、$$\hspace{ 27 pt}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{z}$$
よって、答えは$$~~~\overrightarrow{\rm EC}=4\overrightarrow{x}+3\overrightarrow{y}-2\overrightarrow{z}$$となります。