空間ベクトルの内積と証明
ベクトル \(\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm CD}\) に関して、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}$$が成り立つので、これらのベクトルの内積が$$~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=0$$となります。
この式を用いて証明を進めていきます。
問題解説：空間ベクトルの内積と証明
[証明]
図より、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}$$とすると、$$~~~ \begin{eqnarray} \overrightarrow{\rm CB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \\ \overrightarrow{\rm DB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d} \\ \overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c} \end{eqnarray}$$となります。
\({\rm AD}\perp{\rm CB}\) であることより、
\(\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm CB}=0\) となるので、$$\hspace{ 22 pt}\overrightarrow{d}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})=0$$$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}~~~\cdots{\Large ①}$$
また、\({\rm AC}\perp{\rm DB}\) であることより、
\(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm DB}=0\) となるので、$$\hspace{ 21 pt}\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d})=0$$$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}=0$$移項すると、$$\hspace{ 10 pt} \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}~~~\cdots{\Large ②}$$
次に、\(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm CD}\) の内積を考えると、$$~~~~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}$$$$~=\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})$$$$~=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}$$ここで、①と②を代入すると、$$~=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}$$$$~=0$$\(\overrightarrow{\rm AB}\neq0~,~\overrightarrow{\rm CD}\neq0\) であることより、$$~~~\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}$$よって、$$~~~{\rm AB}\perp{\rm CD}$$が成り立ちます。[終]
今回のまとめ
空間ベクトルの内積と証明については、垂直の条件を内積＝０の式にして証明を進めましょう。また、基準となるベクトルを定めると計算が楽になります。
