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問題｜循環小数の分数での表し方
数と式 26循環小数 \(0.\dot{3}~,~\)\(0.\dot{1}\dot{2}~,~\)\(0.\dot{1}2\dot{3}~,~\)\(0.1\dot{2}\dot{3}\) を分数で表す方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
循環小数の分数での表し方
Point：循環小数の分数での表し方
① 循環小数を \(x\) とおき、小数部分が一致するように \(10^n\) 倍する。
\(x=0.\dot{3}\) とおくと、
\(x=0.333\cdots\)
\(10x=3.333\cdots\)
② この2つの式の差を求めることにより、\(x\) を分数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~~~
10x&=&3.333\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~x&=&0.333\cdots\\[3pt]
\hline 9x&=&3
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
循環小数の分数での表し方は、
① 循環小数を \(x\) とおき、小数部分が一致するように \(10^n\) 倍する。
\(x=0.\dot{3}\) とおくと、
\(x=0.333\cdots\)
\(10x=3.333\cdots\)
② この2つの式の差を求めることにより、\(x\) を分数で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~~~
10x&=&3.333\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~x&=&0.333\cdots\\[3pt]
\hline 9x&=&3
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜循環小数の分数での表し方
数と式 26
循環小数 \(0.\dot{3}~,~\)\(0.\dot{1}\dot{2}~,~\)\(0.\dot{1}2\dot{3}~,~\)\(0.1\dot{2}\dot{3}\) を分数で表す方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
\(x=0.\dot{3}\) とおくと、
\(x=0.333\cdots\)
\(10\) 倍しても小数部分が一致するので、\(10x\) と \(x\) との差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
10x&=&3.333\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~x&=&0.333\cdots\\[3pt]
\hline 9x&=&3
\\[3pt] x&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) となる
\(x=0.\dot{1}\dot{2}\) とおくと、
\(x=0.1212\cdots\)
\(100\) 倍しても小数部分が一致するので、\(100x\) と \(x\) との差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
100x&=&12.1212\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~~x&=&\phantom{0}0.1212\cdots\\[3pt]
\hline 99x&=&12
\\[3pt] x&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,99\,}
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,33\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,4\,}{\,33\,}\) となる
\(x=0.\dot{1}2\dot{3}\) とおくと、
\(x=0.123123\cdots\)
\(1000\) 倍しても小数部分が一致するので、\(1000x\) と \(x\) との差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
1000x&=&123.123123\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~~~~x&=&\phantom{00}0.123123\cdots\\[3pt]
\hline 999x&=&123
\\[3pt] x&=&\displaystyle \frac{\,123\,}{\,999\,}
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,41\,}{\,333\,}\) となる
\(x=0.1\dot{2}\dot{3}\) とおくと、
\(x=0.12323\cdots\)
\(x\) の \(10\) 倍と \(1000\) 倍の小数部分が一致するので、\(1000x\) と \(10x\) との差より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
1000x&=&123.2323\cdots \\~~
-\big{)}~~~~~~10x&=&\phantom{00}1.2323\cdots\\[3pt]
\hline 990x&=&122
\\[3pt] x&=&\displaystyle \frac{\,122\,}{\,990\,}
\\[5pt] x&=&\displaystyle \frac{\,61\,}{\,495\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\(\displaystyle \frac{\,61\,}{\,495\,}\) となる
