- 数学Ⅰ｜数と式「実数の分類と四則演算結果」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜実数の分類と四則演算結果
数と式 27\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\)\(\sqrt{\,3\,}~,~\)\(\sqrt{\,9\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(0.\dot{6}\) を有理数と無理数に分類する方法は？また、自然数・整数・有理数・実数の各範囲で、四則演算は常にできるか？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
実数の分類と四則演算結果
Point：実数の分類と四則演算結果
実数 － 有理数：分数で表すことができる。
\(\hspace{17pt}\) － 無理数：有理数でない実数。
さらに有理数は、
有理数 － 整数：特に正の整数を自然数という。
\(\hspace{26pt}\) － 有限小数：\(0.1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\) など。
\(\hspace{26pt}\) － 循環小数：\(0.\dot{3}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) など。
また、それぞれの数の範囲での四則演算結果は、
実数の分類は、
実数 － 有理数：分数で表すことができる。
\(\hspace{17pt}\) － 無理数：有理数でない実数。
さらに有理数は、
有理数 － 整数：特に正の整数を自然数という。
\(\hspace{26pt}\) － 有限小数：\(0.1=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,10\,}\) など。
\(\hspace{26pt}\) － 循環小数：\(0.\dot{3}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) など。
また、それぞれの数の範囲での四則演算結果は、
加法
減法
乗法
除法
自然数
○
✕
○
✕
整数
○
○
○
✕
有理数
○
○
○
○
実数
○
○
○
○
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜実数の分類と四則演算結果
数と式 27
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\)\(\sqrt{\,3\,}~,~\)\(\sqrt{\,9\,}~,~\)\(\pi~,~\)\(0.\dot{6}\) を有理数と無理数に分類する方法は？また、自然数・整数・有理数・実数の各範囲で、四則演算は常にできるか？
高校数学Ⅰ｜数と式
分数で表すことができれば有理数であるので、
\(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\) は有理数
\(\sqrt{\,3\,}=1.732\cdots\) は無理数
\(\sqrt{\,9\,}=3\) は有理数
\(\pi=3.14159\cdots\) は無理数
\(0.\dot{6}=0.666\cdots=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)は 循環小数で有理数
自然数 \(a~,~b\) について、
和 \(a+b\) は自然数
差 \(a-b\) は、
\(a=2~,~b=3\) のとき \(-1\) となり、
自然数とならない
積 \(ab\) は自然数
商 \(a{\, \small \div \,}b\) は
\(a=2~,~b=3\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となり、
自然数とならない
整数 \(a~,~b\) について、
和 \(a+b\) は整数
差 \(a-b\) は整数
※ \(a=2~,~b=3\) のときも \(-1\) となり整数。
積 \(ab\) は整数
商 \(a{\, \small \div \,}b\) は、
\(a=2~,~b=3\) のとき \(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\) となり、
整数とならない
有理数 \(a~,~b\) について、
和 \(a+b\) 、差 \(a-b\) 、積 \(ab\) 、商 \(a{\, \small \div \,}b\) は
常に有理数である
実数 \(a~,~b\) について、
和 \(a+b\) 、差 \(a-b\) 、積 \(ab\) 、商 \(a{\, \small \div \,}b\) は
常に実数である
したがって、
加法
減法
乗法
除法
自然数
○
✕
○
✕
整数
○
○
○
✕
有理数
○
○
○
○
実数
○
○
○
○
