- 数学Ⅰ｜数と式「根号を含む式の計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜根号を含む式の計算
数と式 33\(\sqrt{3}\sqrt{21}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{36}\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\)\(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}~,~\)\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)~,~\)\((\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2~,~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\) の計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
解法のPoint
根号を含む式の計算
Point：根号を含む式の計算
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~m \gt 0~,~n \gt 0\) のとき、
※ 2乗の値は平方根の外に出す。
\({\small [\,2\,]}~\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,b\,}=\sqrt{\,ab\,}\)
※ 積は、根号の中の数の積。
\({\small [\,3\,]}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,a\,}\,}{\,\sqrt{\,b\,}\,}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\,}\)
※ 商は、根号の中の数の商。
\({\small [\,4\,]}~m\sqrt{\,a\,}+n\sqrt{\,a\,}=(m+n)\sqrt{\,a\,}\)
\(\hspace{15pt}\)\(m\sqrt{\,a\,}-n\sqrt{\,a\,}=(m-n)\sqrt{\,a\,}\)
※ 和や差は、文字式と同様に計算できる。
根号を含む式の計算は、
\(a \gt 0~,~b \gt 0~,~m \gt 0~,~n \gt 0\) のとき、
\({\small [\,1\,]}~\sqrt{\,m^2 a\,}=m\sqrt{\,a\,}\)
※ 2乗の値は平方根の外に出す。
\({\small [\,2\,]}~\sqrt{\,a\,}\sqrt{\,b\,}=\sqrt{\,ab\,}\)
※ 積は、根号の中の数の積。
\({\small [\,3\,]}~\displaystyle \frac{\,\sqrt{\,a\,}\,}{\,\sqrt{\,b\,}\,}=\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,a\,}{\,b\,}\,}\)
※ 商は、根号の中の数の商。
\({\small [\,4\,]}~m\sqrt{\,a\,}+n\sqrt{\,a\,}=(m+n)\sqrt{\,a\,}\)
\(\hspace{15pt}\)\(m\sqrt{\,a\,}-n\sqrt{\,a\,}=(m-n)\sqrt{\,a\,}\)
※ 和や差は、文字式と同様に計算できる。
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詳しい解説｜根号を含む式の計算
数と式 33
\(\sqrt{3}\sqrt{21}~,~\)\(\displaystyle \frac{\,\sqrt{36}\,}{\,\sqrt{3}\,}~,~\)\(\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}~,~\)\((\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)~,~\)\((\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2~,~\)\((1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\) の計算方法は？
高校数学Ⅰ｜数と式
根号の中の積となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{3}\sqrt{21}&=&\sqrt{\,3 {\small ~\times~} 21\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3 {\small ~\times~} 3 {\small ~\times~} 7\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,3^2\,} \cdot \sqrt{\,7\,}\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{\,7\,}\end{eqnarray}\)
根号の中の商となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\sqrt{36}\,}{\,\sqrt{3}\,}&=&\sqrt{\,\displaystyle \frac{\,36\,}{\,3\,}\,}\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\,12\,}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,2^2 {\small ~\times~} 3\,}\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{\,3\,}\end{eqnarray}\)
根号の中を整理し、\(\sqrt{2}\) の係数を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\sqrt{50}-\sqrt{18}+\sqrt{8}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,5^2 {\small ~\times~} 2\,}-\sqrt{\,3^2 {\small ~\times~} 2\,}+\sqrt{\,2^2 {\small ~\times~} 2\,}\\[3pt]~~~&=&5\sqrt{\,2\,}-3\sqrt{\,2\,}+2\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&(5-3+2)\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&4\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
展開の公式 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{5})^2-2^2\\[3pt]~~~&=&5-4\\[3pt]~~~&=&1\end{eqnarray}\)
展開の公式 \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) で \(a=\sqrt{6}~,~b=-2\sqrt{3}\) として、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(\sqrt{6}-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&(\sqrt{6})^2+2 \cdot \sqrt{6} \cdot (-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,6 {\small ~\times~} 3\,}+4(\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&6-4\sqrt{\,18\,}+4 \cdot 3\\[3pt]~~~&=&6-4 \cdot 3\sqrt{\,2\,}+12\\[3pt]~~~&=&(6+12)-12\sqrt{\,2\,}\\[3pt]~~~&=&18-12\sqrt{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(1+\sqrt{2}={\rm A}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&({\rm A}+\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&{\rm A}^2+2\sqrt{3}~{\rm A}+(\sqrt{3})^2\end{eqnarray}\)
\({\rm A}=1+\sqrt{2}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&(1+\sqrt{2})^2+2\sqrt{3}(1+\sqrt{2})+3\\[3pt]~~~&=&1+2\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}+3\\[3pt]~~~&=&(1+2+3)+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\\[3pt]~~~&=&6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
【別解】
\((a+b+c)^2\) の展開の公式
\(\begin{eqnarray}~~~&&(a+b+c)^2\\[3pt]~~~&=&a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{eqnarray}\)
公式を用いると、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\\[3pt]~~~&=&1^2+(\sqrt{2})^2+(\sqrt{3})^2+2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2}+2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1\\[3pt]~~~&=&(1+2+3)+2\sqrt{2}+2\sqrt{6}+2\sqrt{3}\\[3pt]~~~&=&6+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}+2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
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